Extremum fonction à 2 variables

[stma]

Bonjour,
On me demande trouver les extremums d'une fonction à 2 variables x1 et x2 avec un coefficient "m" inclus dans la fonction.
q(x1; x2) = (m² + 1)(x1² + x2²) + 4mx1x2.
On me demande :
etudier suivant les valeurs de m les maxima et minima (locaux ou absolus)
eventuels de q et la nature de ces extremum, on fait une etude classique de recherche
de points critiques

J'ai fait une matrice hessienne avec laquelle je me retrouve avec 2 équations, je dois résoudre.
Ce que je ne comprends pas dans la correction c'est pourquoi le fait que le déterminant de cette matrice hessienne admet une infinité de solution lorsqu'il est nul sachant qu'on obtient quelque chose comme det(4(m²-1)²) (déterminant de la matrice hessienne) et pourquoi une seule solution lorsqu'il est différent de 0.

[girdav]

Bonjour,
pour ce qui est des points critiques il se trouve qu'ici on a un système linéaire. On a après simplification . Le problème est don en fait du ressort de l'algèbre linéaire.

[miikou]

Salut,

Pour en connaitre la nature prend le jacobien

[stma]

En faite ce que je ne comprends pas c'est pourquoi le déterminant de la matrice admet une infinité de solution s'il vaut 0 ?

[girdav]

En faite ce que je ne comprends pas c'est pourquoi le déterminant de la matrice admet une infinité de solution s'il vaut 0 ?

Je suppose que tu veux dire : "si le déterminant de la matrice associée au système est nul alors le système admet une infinité de solutions."
En fait, les solutions du système sont les éléments du noyau d'une application linéaire (je ne sais pas ce que tu connais en algèbre linéaire, n'hésite pas à signaler si un point te bloque).
Si le déterminant est nul, les vecteurs ligne de la matrice sont liés : il y a donc une équation qui ne sert à rien. Ceci fait qu'il y a une infinité de couples qui satisfont à l'équation restante.

[Doraki]

Ici, le déterminant 4(m²-1)² est nul lorsque m = +1 ou m = -1.

Quand m=+1 le système devient
4x+4y = 0, et
4x+4y = 0.

Quand m=-1 le système devient
4x-4y = 0, et
-4x+4y= 0.

Tu peux vérifier facilement que oui, il y a une infinité de solutions dans chacun de ces cas.