Extremum global ou local

[the_pooh12]

Bonsoir,

Il y a un théorème qui me pose un petit problème :
Soient I un intervalle réel et a un point intérieur à I. Soit f une fonction définie sur I et à valeurs dans R.
On suppose f dérivable au voisinage de a.
Si f'(a)=0 en changeant de signe, alors f admet un extremum global en a.

La démonstration de ce théorème se fait bien en utilisant le principe de Lagrange.
Mais je trouve aussi ce même théorème avec en conclusion "f admet un extremum local en a".

Quelle est la bonne version ?

Dans le premier théorème, est-ce qu'il ne faut pas préciser que f est dérivable sur I pour que l'extremum soit global ?

Ou peut-être peut-on dire qu'un extremum global est forcément un extremum local ?

[gigamesh]

Bonsoir,
la version avec "global" dans la conclusion est fausse.
Essaie f(x)=(1-x²)² comme contre exemple.

Par ailleurs, un extrema global est aussi local.
Un extrema local est un extrema sur un intervalle contenant a ; un global est sur le domaine de la fonction.

[mathelot]

Un maximum global peut ne pas être un maximum local: s'il est situé à la frontière de l'intervalle de définition de la fonction. Exemple : f définie sur [-1;1] par f(x) =x. 1 est maximum global de f mais pas local.