Extension algébrique

[simplet]

Bonjour,

Soient K et L deux corps, K inclus dans L, x un élément de L.

Je voudrais montrer que: x est algebrique sur K ,ssi, K(x) algébrique sur K.

(La réciproque est évidente)

(Maintenant le sens direct)
On peut y arriver de facon détournée en disant:
_ x algebrique sur K donc K(x)/K extension de degré finie,
_ Or toute extension finie est algébrique
_ donc K(x)/K algébrique.

Mais j'aimerais eviter de me servir de ce résultat général (le deuxieme tiret) car j'aurais aimé le montrer plus concretement: ie si P est un polynome annulateur de x et si F(x) appartient à K(x) alors il existe un polynome P' (fonction de P) tel que P' annule F(x).

Mais je n'arrive pas à trouver ce P' fonction de P..

qqlun peu m'aider..?
mercii beaucoup

[simplet]

(je relance une fois, sinon tant pis :cry: )

:langue: :langue:

[yos]

Bonsoir.
Je crois que ce que tu demandes est très ambitieux. Tout est dans ton second tiret. Si un élément est dans une extension de degré n, ses n+1 premières puissances sont liées. Quant à trouver la combinaison linéaire qui les relie... c'est du cas par cas.


Considère la question suivante qui est à mon avis plus simple et semblable : Si x et y sont algébriques sur K, alors x+y est algébrique sur K (de même que xy...). Mais pour obtenir le polynôme minimal de x+y à partir de ceux de x et y, il faut se lever tôt. Il me semble que ça se fait avec un déterminant pas possible et peu utilisable en pratique (à vérifier).

[simplet]

mercii,
je métais rendu compte de cette difficulté (composée de polynomes) mais c'est une propriété que je voulais montrer pour essayer de comprendre un peu mieux le cours. Sinon merci d'avoir répondu, car ca me bouffait un temps pas posible cette histoire :we:

bonne journée :zen:

[Gato]

Hello,

essayer par exemple de trouver un polynôme à coefficients entiers et annulateur de