Exponentielle modulo p^n

[Nightmare]

Hello,

Partant à la recherche de générateurs des groupes pour , j'en suis arrivé aux réflexions suivantes :

La projection (réduction modulo p) est de noyau

La suite exacte est scindée, et fournit un isomorphisme

Pour avoir un générateur de , il suffit donc d'avoir un générateur de .

Pour cela, je souhaiterai formaliser la notion d'exponentielle modulo . En effet, en admettant qu'on puisse donner un sens à , on aurait un isomorphisme entre et si bien qu'un générateur de serait .

Ma question est alors la suivante : Comment donneriez-vous un sens à modulo p^n? J'ai partiellement répondu à la question, en commençant par définir l'exponentielle sur les entiers p-adiques, la série étant alors convergente dès que m est de valuation p-adique supérieure à 1. Problème, je ne vois vraiment pas comment étendre proprement à .

Quelqu'un a-t-il déjà fait ceci ou a une idée?

[Ben314]

Salut,
Je pense que, plutôt que de dire "j'aimerais copier la définition de l'exp usuelle", il serait plus sage de dire "j'aimerais fabriquer une fonction que j'apellerais comme par hasard exp et qui ait les propriétées suivantes ..." : on pourrait alors voir s'il y a des obstructions à l'existence d'une telle fonction.

Aprés, concernant les générateur de , autant il est assez dificile de les déterminer lorsque n=1 autant il me semble me rapeller que les générateurs pour n>2 sont les mêmes que ceux pour n=2 (à vérifier...)

[Nightmare]

Bon alors je reprends ma question. Comment fabriquer correctement cette fonction sur Z/p^nZ ?

En fait, une fois défini sur les entiers p-adiques, on voit bien ce qu'il faut faire, on "relève" les éléments de Z/p^nZ en des entiers p-adiques (bon là déjà il y a un problème, il n'y a pas de façon canonique de le faire, et il faudra donc montrer que la définition de l'exp ne dépendra pas du choix du relèvement), on calcule l'exponentielle du représentant p-adique puis on "tronque" le développement.

Comme je ne suis pas un pro de l'arithmétique p-adique, je ne sais pas si tout ceci est mathématiquement propre.

[Ben314]

A mon avis, ça serait mieux que tu précise exactement quelles propriétées tu attend de ta fameuse fonction exponentielle puis... on se fera un plaisir de montrer que ça n'existe pas... :zen:

(En fait mon raisonnement est celui d'un gros Boeuf : si ça existait... ça ce saurait...)

[Nightmare]

Je vais détailler un peu Ben, parce que je suis persuadé que tout ceci a un sens, bien que tu veuilles montrer le contraire :lol3:

Il est clair qu'une série d'entiers p-adiques converge (pour la topologie p-adique) si et ssi converge vers 0, et ceci équivaut au fait que sa valuation p-adique doit tendre vers +oo.

Ceci dit, on peut alors donner un sens à dès que la valuation p-adique de tend vers +oo. L'identité implique que qui diverge donc dès que .

Autrement dit, est bien défini dès que ( : entiers p-adiques).

On peut montrer que l'exponentielle ainsi définie est bien un isomorphisme du groupe additif dans le groupe multiplicatif .

Je veux à présent étendre cette application à (en fait, il suffit de l'étendre sur et le faire en gardant la structure d'isomorphisme. Pour cela j'ai proposé ce écrit dans mon post précédent, à savoir :

1) on relève x de (p) en un entier dans

2) On calcule avec la définition précédente

3) On pose alors où est le morphisme surjectif qui à associe .

L'exponentielle construite comme ceci est bien un isomorphisme de sur .

Mon seul problème est de montrer que ne dépend pas du relèvement choisit.

Edit : Bon, [url="http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_p-adique]wiki[/url] semble bien dire qu'il y a effectivement une exponentielle p-adique (dernier paragraphe)

[Ben314]

Je peut te confirmer (et c'était des recherche à la mode il y a quelques années) que l'on peut faire des "fonctions analytiques" en p-adique (bien sûr on se place plutôt sur Cp que sur Zp, mais sur le principe, c'est pas trés différent).
L'obstruction, à mon avis, c'est de vouloir faire "descendre" ça sur des anneaux finis et de caractéristique non nulle donc trés trés trés différents de Zp !

[Nightmare]

Bon, par exemple, dans :

, en raisonant sur la valuation 3-adique du terme général, on a que tous les termes sont nuls à partir du rang 9. Un calcul simple montre qu'en fait ils sont tous nuls à partir du rang 6.

il reste et, ce qui me fait croire que tout ceci a bien un sens, c'est que 14 (= (-1)*(-14), -1 étant un générateur de ) est bien un générateur de ...

[Ben314]

Je te le (re)dit : si c'est les générateurs de que tu cherche, c'est assez simple : c'est toujours les même dés que (i.e. est générateur ssi sa classe dans est génératrice) donc ce n'est pas la peine de prendre n plus grand que 2 dans ces calculs.

Bon, sinon, j'essaye de trouver tout seul quel propriétés tu peut bien attendre de ta fonction exponentielle...

Par exemple 14 est générateur de Z/81Z car 5(=14) est générateur de Z/9Z.

[Nightmare]

Je veux juste que ce soit un isomorphisme de {0,p,....,(p^n-1)p} dans {1, 1+p,...,1+(p^n-1)p}.

je ne connaissais pas le résultat de ton premier paragraphe, en tout cas il règle le problème en montrant l'inutilité de la question.

[Ben314]

...je ne connaissais pas le résultat de ton premier paragraphe, en tout cas il règle le problème en montrant l'inutilité de la question.

Le "résultat", il est vite démontré : calcule combien il y a de générateurs dans Z/p^nZ et c'est fini...

[Ben314]

Sinon, à force, je viens de lire "tout bien comme il faut" (enfin il me semble... :hein:) ton premier post.
Ton groupe , il est cyclique (si ) et donc isomorphe à c'est à dire à
Cela signifie effectivement que ton groupe est isomorphe à et il semblerait effectivement bien que l'application de dans définie par (où la somme est évidement finie) fournisse un isomorphisme.

Sauf qu'en fait, pour la recherche des générateurs, cela n'est (un peu) utile que pour n=2 où, parmi les éléments de (Z/p²Z)* dont le projeté dans (Z/pZ)* est générateur, il y en a certains qui ne sont pas générateurs de (Z/p²Z)* {en fait parmi les p "relevés" d'un générateur a de (Z/pZ)* il n'y en a que p-1 qui sont générateurs de (Z/p²Z)*}.
Et, dans ce cas, l'application est : (Z/pZ,+) -> ((Z/p²Z)*) ; x->1+px qui n'est pas super utile...