P est congru à 1 modulo 8

[hamdo]

Salut tout le monde
Montrer que -1 est une puissance quatrieme dans Z/pZ(où p est premier) si et seulement si p est congru à 1 modulo 8
Merci d'avance

[Doraki]

1^4 = 1 modulo p pour tout p.

A part ça, modulo 5, 1 =1^4 = 2^4 = 3^4 = 4^4, donc je le sens pas correct, ton énoncé.

[Ben314]

Salut.
Tout d'abbord, il faut supposer p différent de 2 (sinon c'est faux) et je pense aussi que c'est plutot -1 qui doit être une puissance 4em (parce que sinon, il me semble bien que dans à peu prés n'importe quoi, 1 est la puissance quatrième de... 1)
Si c'est bien ça (i.e. que tu n'as fait que deux erreurs en 2 lignes :zen: ) le sens => est façile :
Il te suffit d'écrire que, dans Z/pZ, il existe un élément a tel que a^4=-1.
Sauf que, quoi ça peut-y être l'ordre de a (dans (Z/pZ*,x) ) ?
Et l'ordre de tout élément, ça divise tout le temps quoi ?
Et le "quoi" en question, il vaut combien ici ?

Pour la réciproque, c'est un peu plus "chaud" : as-tu vu les résiduts quadratiques ? [i.e. sait tu à quelle condition un élément de Z/pZ est un carré ?]

[hamdo]

Je suis désolé, erreur de frape -1 au lieu de 1,

[Doraki]

Pour la réciproque il me semble que savoir que (Z/pZ)* est un groupe cyclique suffit amplement.
On prend un générateur x, on regarde y = x^((p-1)/8), pouf, y^8 = 1 et y^4 est différent de 1 donc y^4 = -1.

[hamdo]

Merci bcp
Pour le premier sens, es-ce qu'on pourra faire la démonstration en utilisant seulement la division euclidienne de p par 8 et le petit théorème de Fermat?

[Ben314]

Effectivement, c'est total couillon...
J'était parti sur le critère x (non nul) est un carré [mod p] ssi x^((p-1)/2)=1 [mod p]
D'où (connu) -1 est un carré si p=4k+1, mais, dans ce cas, -1 et une puissance 4em ssi une des deux racines carrée x de -1 est un carré, c'est à dire ssi (x)^((p-1)/2)=1 soit encore (-1)^((p-1)/4)=1.

De façon plus générale, si p=4k+1, alors x (non nul) est une puissance 4em ssi x est un carré (i.e. x^((p-1)/2)=1 [mod p]) et qu'une de ces racines quatrième y est un carré, c'est à dire y^((p-1)/2)=1 [mod p] soit encore x^((p-1)/4)=1 [mod p]

Petite question qui vient évidement à l'esprit : Quel est le critère "du même type" pour savoir si x (non nul) est une puissance 4em lorsque p=4k+3 ?

[Ben314]

Merci bcp
Pour le premier sens, es-ce qu'on pourra faire la démonstration en utilisant seulement la division euclidienne de p par 8 et le petit théorème de Fermat?

Si tu ne connait que ça, oui, ça marche.
Par contre, si tu l'as déjà vu, c'est un peu plus rapide de dire directement que l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe plutôt que de traiter les 4 cas de reste de division de p par 8.

[Doraki]

Petite question qui vient évidement à l'esprit : Quel est le critère "du même type" pour savoir si x (non nul) est une puissance 4em lorsque p=4k+3 ?

Pour p = 3 mod 4, x est une puissance 4ième x est un carré x^(p-1)/2 = 1

[Ben314]

Pour p = 3 mod 4, x est une puissance 4ième x est un carré x^(p-1)/2 = 1

Tout à fait Thierry, tout à fait...