Exo matrice

[Fanfan]

Bonjour,
pourriez-vous m'aider sur un exercice ? Je dois déterminer le noyau et l'image de f. f est l'endomorphisme de R3 représenté par :

1 1 1
A=1 1 1
1 1 1

1 1 1 x 0
1 1 1 *y = 0 j'obtiens x+y+z=0, comment puis-je conclure ?
1 1 1 z 0

Et pour l'image quelle est la méthode ?

[thedream01]

Bonjour!
Ton noyau tu l'as! il est définie par l'équation x+y+z=0.
Il est donc de dimension 2.
Chose qui n'est pas contradictoire avc le théorème du rang vu que ta matrice A est de rang 1.
Pour l'image, il me semble qu'il manque des données...
Tu n'as aucune information sur les bases dans lesquelles la matrice A est exprimée???

[Fanfan]

oui ,dsl, dans la base canonique. Le fait que le noyau soit de degré 2 est du à la forme de l'équation ?

[thedream01]

en fait, la dimension de ton espace, tu l'obtiens en faisant dim(R^3)-nombre d'équation...D'où le resultats! (parce que c'est une endomorphisme de R^3)

Et pour ton image, je te pose une question:
La matrice d'un endomorphisme, tu la trouves comment?

[Fanfan]

dans un endomorphiqme, rg(f)=dim Imf ?
car la base d'arrivé est la meme que la base de départ.

[thedream01]

oui, mais que représentent les colonnes de ta matrice?

[Fanfan]

les images de la base canonique, non

[thedream01]

tu ne vois toujours pas la réponse?
je reformule les hypothéses:
On sait que l'image de f est de dimension 1.
On sait aussi que: f((1,0,0))=f((0,1,0))=f((0,0,1))=(1,1,1).
Donc....
A toi de conclure...

[Fanfan]

x=y=z ? si non tant pis :hum:

[thedream01]

voila! en fait, c'est l'espace engendré par le vecteur (1,1,1)...
Im(f) = vect((1,1,1)) = {x*(1,1,1) avc x dans R}

[Fanfan]

merci :happy2:

[Fanfan]

dans un autre exercice j'obtiens :f endo. de R3 bases canonique

u € ker f alors f(u)=0 x=0 dois-je conclure : 2 equations, dim kerf=2 ?
y=0

[thedream01]

tu peux donner l'énoncée de ton exo stp...

[Fanfan]

oups c'étais R2 -> R3.
alors:

f:=R2->R3 est définie par f(x,y)=(x',y',z'), avec x'=-2x
y'=x+3y
z'=y
Matrice de f dans les bases canoniques ?

-2 0 0
1 3 0
0 1 0

F injective ? Surjective ?

Soit u € Kerf f(u)=(0,0,0) je trouve x=Y=0 dim ker f = 2 donc pas injecive ?

[thedream01]

d'une, tu dois enlever la dernière colonne de ta matrice! l'espace de départ est de dimension 2 donc 2 colonnes...

[thedream01]

La matrice que tu viens d'obtenir est clairement de rang 2 car les deux colonnes sont indépendantes.
En appliquant le théorème du rang, tu verras que la dimension de ker(f) est 0, donc ker(f)={0}. d'où f injective...

[Fanfan]

il y a une erreur quelque part car le produit de matrice est de la forme :
(3,2)*(3,1) ce qui n'est pas possible
Il faut que je cherche une autre matrice

[Fanfan]

correction, je dis n'importe quoi

[thedream01]

je ne comprends pas ce que tu veux...

[Fanfan]

:) c'est bon

la matrice est en fait :

-2 0
1 3
0 1

j'ai compris merci !