[Complexes] - Exo de Colle

[Lostounet]

Bonsoir,

J'ai besoin de votre aide pour bien rédiger la solution de cet exercice que j'ai eu en colle.

Soit

Montrer que:, tq:


Merci de votre aide...

[Ben314]

Je comprend pas trop.
Déjà, l'inégalité de gauche, si "je'nmabuse", elle est très con vu qu'avec 1 à la place de , ça marche...
Pour celle de droite, ça semble plus "fun" (met il faudrait que tu enlève le "n" au dessus du sigma et que tu referme quelquepart la barre du "module")


Edit (aprés 2 minutes de reflexion) : l'inégalité de droite, j'ai peur que tu ait un tout petit peu du mal vu que le terme de droite est trivialement majoré par un truc plus petit que... celui qu'il est sensé majorer...

[jlb]

avec (i;-i) de C², cela va être dur d'avoir l'inégalité de droite.

[Lostounet]

Excusez-moi j'avais mal recopié l'énoncé.
Ceci dit, je ne sais pas trop quoi faire.

J'ai la solution de mon colleur mais .. c'est pas très clair.

[Ben314]

Je pense que la deuxième inégalité, c'est plutôt ça :

et que pour le montrer, il faut séparer les zj en quatre parties selon le 1/4 de plan (x > ou ou < 0) auquel ils appartiennent.
Pour des zj tous dans le même quart de plan, on peu minorer le module de la somme en fonction de la somme des modules...

[Lostounet]

C'est exactement ce qui est proposé dans la correction !

Mais je trouve le résultat un peu choquant , je ne "vois" pas géométriquement le résultat, en plaçant les z_j dans le plan :/

[Ben314]

La loi des cosinus ("Al Kashi" depuis peu...) te dit que, si a et b sont des complexes non nuls, alors
où est l'angle entre a et b (i.e. un argument de )
Si a et b sont dans le même quart de plan alors donc

Vu sous cette forme, c'est un peu chiant : ça se généralise pas trop à une somme de 3 (ou plus) complexes.

[Lostounet]

Je ne vois pas comment généraliser ce résultat à plus de 2 complexes...

Je n'aime vraiment pas les complexes. Je ne comprends quasiment jamais d’où sortent les formules avec les exponentielles, etc...

Donc déjà il faudrait voir ça dans le plan, je fais une figure?

[Ben314]

fait c... : je trouve pas de méthode simple et élégante (alors que je pense qu'il y en a une...)

Donc (pas beau... :hum:) on considère des réels strictement positifs fixés et on cherche les angles tels que le somme soit minimale.

[Lostounet]

Le colleur m'a dit que pour les ramener dans le même cadrant, on peut multiplier par i :p

[Ben314]

fait c... : je trouve pas de méthode simple et élégante (alors que je pense qu'il y en a une...)

Donc (pas beau... :hum:) on considère des réels strictement positifs fixés et on cherche les angles tels que soit minimale.
Si on dérive par rapport à la variable (là, je sais pas si je sort pas légèrement du programme...) on trouve :

Les deux termes d'indice dans les deux sommes s'éliminent donc où et sont positifs et ne dépendent pas de .
On en déduit que, par rapport à la variable , la fonction est croissante puis décroissante sur et donc que son minimum sera atteint pour ou bien
Le minimum de la fonction (où je rappelle que les sont fixés) sera donc atteint lorsque tout les sont dans le doubleton . Dans ce cas, en séparant la somme en deux (les t.q. d'un coté et ceux telles que de l'autre), on a :

[jlb]

Salut, je ne suis pas du tout sur de moi, je propose cela mais...

Soit P la propriété:"quelquesoit

il existe une partie J de |[ 1 ; n ]| tq:
"

Comme nonP est fausse ( prendre (1;1;1;...1) dans C^n alors pour J={1,2,...n} n=<4rac(2)n), du coup, P serait vraie. Cela vous paraît juste ou ai-je commis une grosse erreur de raisonnement? Merci.

[Lostounet]

Merci pour vos réponses...
Je vais essayer de digérer ça (je poste ma solution un peu plus tard)

[Ben314]

Sinon, avec un malheureux dessin où tu met n complexe appartenant au même secteur angulaire (d'angle La réponse est géométriquement claire : il faut le placer "parallèle" à un des deux bords du secteur angulaire.
Ca montre que si tu ajoute des complexes de modules fixés d'avance et tous dans ce même secteur angulaire, le minimum pour le module de la somme sera atteint lorsque tout les complexes seront parallèles à un des deux bord.

P.S. D'ailleurs, vu qu'on peut tout à fait prendre d'autres secteurs angulaires (pourvu que l'angle soit plus petit que pi), je me demande si c'est en coupant en 4 quart de plan qu'on obtient la meilleure constante...

[deltab]

Bonjour

Le colleur m'a dit que pour les ramener dans le même cadrant, on peut multiplier par i :p

La multiplication par est géométriquement une rotation d'angle . elle ne modifie pas le module mais augmente l'argument de (propriétés du produit de 2 nombres complexes, . Au bout de 3 multiplications au plus par , un point quelconque de peut être ramené dans le 1er cadrant.