Salut Losti,
Lostounet a écrit:Bonjour,
Je bloque sur la question 4 de l'exercice 1 de mon DM de maths!
Nous nous intéressons à l'équation (*):
(n naturel et p naturel non nul)
que nous cherchons à résoudre dans
Soit S_{p,n} le nombre de solutions de (*).
a) Déterminer
et
Je pense qu'il y a une erreur dans l'énoncé, ce serait pas
?
b) Montrer que:
c) Démontrer par récurrence sur p que:
J'ai essayé de dénombrer le nombre de couples solution pour p assez petit, je trouve par exemple pour p = 1 et n donné qu'il y a 1 solution
Lorsque p vaut 2, il y a n couples solutions
Lorsque p vaut 3, pas très ok... 3n triplets?
Je vous remercie de votre temps
a) En effet.
b) Si p=1 ok, si p=2 x1 peut prendre des valeurs k dans [[1,n]] et x2 aussi. Il existe donc n choix possibles car si x1 peut prendre k alors x2 doit automatiquement prendre la valeur n-k.
Maintenant soit p>=2 et n>=1
L'ensemble E_{p,n} des (x1,...,xp) solutions de (*) peut être partitionné en deux sous-ens : L'un (E') tel que xp=0 et l'autre (E'') tel que xp>0. Donc Card(E_{p,n})=Card(E')+Card(E'').
On s'aperçoit que Card(E')=Card(E_{p-1,n}) puisque E' est l'ensemble des p-uplets qui vérifient x1+...+x_{p-1}=n (le p-ième coeff de chaque p-uplet étant fixé : il vaut 0).
Explicitons maintenant E'' :
C'est l'ensemble des p-uplets tels que x1+...+xp=n (R1), ce qui équivaut à dire que c'est l'ensemble des p-uplets (x1,...,xp) tels que x1+...+x_{p-1}+(xp-1)=n-1 (R2)
Choisir les xp tels que (R1) revient à choisir les xp-1 tels que (R2) alors on a une équivalence entre E'' et E_{p,n-1}
Donc Card(E'')=Card(E_{p,n-1})
On a ainsi
Card(E_{p,n})=Card(E_{p-1,n})+Card(E_{p,n-1})Et maintenant récurrence sur le terme Card(E_{p,n}), on montre que la propriété sommatoire est vraie.
