Un exercice trouvé dans un vieux livre

[hussein515]

Bonjour à tous,

J'ai trouvé l'exercice suivant dans un livre de Terminale des années 80:
Soit


Montrer qu'il existe un entier tel que, en itérant fois sur , on trouve .

Après avoir travaillé trois semaines sur ce problème, j'ai trouvé une solution. En gros j'introduis pour tout l'ensemble des tels que (hypercube de coté ) et je raisonne par récurrence sur .

Ca marche mais c'est horriblement lourd et bourré de cas particuliers, ma preuve fait 4 pages, je ne la trouve pas jolie. J'aimerais savoir si quelqu'un a une solution élégante de cet exercice.

Merci à tous

Hussein

[Ben314]

Salut,
C'est pas clair ton truc (est-ce réellement formulé comme ça dans le bouquin ?). Est ce :
1) Il existe un entier n (ne dépendant de rien) tel que, quel que soient (a,b,c,d) on ait f^n(a,b,c,d)=(0,0,0,0)
ou bien
2) Quel que soient (a,b,c,d), il existe un entier n (dépendant de a,b,c,d) tel que, f^n(a,b,c,d)=(0,0,0,0) ?

Tel que tu le formule, c'est plutôt le 1), alors que j'ai bien l'impression que le 1) est faux et que seul le 2) est juste.

[hussein515]

Salut,

J'ai reproduit le texte du sujet tel quel, comme il est écrit dans le livre.

Je pense comme toi que le n dépend de (a,b,c,d), en tous cas c'est ce que j'ai prouvé.

[Ben314]

C'est effectivement un peu fastidieux . . .

Si, pour on note le max. des 4 entiers alors on a et même sauf si l'un des max. est suivi ou précédé d'un 0 (où le "suivant" de est ).
Dans ce cas, quitte à faire une permutation circulaire et/ou à les écrire dans l'ordre inverse, on peut supposer que et que donc on a
.
.


.
.

[hussein515]

Oui c'est ça, c'est à peu près la même chose que j'ai fait, sauf que j'ai explicité tous les cas. Ce qui est marrant c'est que ça ne marche pas dans : si on considère l'équivalent de cette fonction dans (), on a:



et donc ça boucle.

Merci !

[Ben314]

Oui, j'avais aussi vu : j'avais voulu faire le mariole et étudier de façon générale le cas (où ) sauf qu'au bout d'un petit moment, je me suis rendu compte que c'était pas terrible . . .

Sinon, je ne sais pas s'il y a une façon moins empirique de procéder.

[lyceen95]

Le dépend de ;
J'aurais pris la fonction , et j'aurais démontré que g(f(a,b,c,d))<g(a,b,c,d) sauf quand
Et à partir de là, on conclut qu'il suffit de prendre pour avoir

[Ben314]

Non, ça ne marche pas (c'était aussi ma première tentative) :
Si V=(1000 ; 5 ; 2 ; 3) [de somme 1010] alors f(V)=(995;3;1;997) [de somme 1996]

[hussein515]

Le dépend de ;
J'aurais pris la fonction , et j'aurais démontré que g(f(a,b,c,d))<g(a,b,c,d) sauf quand
Et à partir de là, on conclut qu'il suffit de prendre pour avoir

Non pas du tout quand (a,b,c,d) = (0, 0, 0 , 0) et c'est là la difficulté du problème. Contre exemple:

g((3,8,0,2)) = 13,
g(f(3,8,0,2)= g(5,8,2,1) = 16 > 13.

[Ben314]

Par contre, il y a effectivement peut être une fonction qui permettrais de faire une preuve avec moins de cas de figures à envisager.
Tu as regardé avec (le max + le min) ?

[hussein515]

Par contre, il y a effectivement peut être une fonction qui permettrais de faire une preuve avec moins de cas de figures à envisager.
Tu as regardé avec (le max + le min) ?

Je me souviens plus trop mais j'ai essayé pas mal de trucs, à chaque fois j'ai buté sur le cas où l'un des nombres est nul.

[Ben314]

(le max + le min), ça marche pas (ça augmente parfois).
Par contre (le max - le min), ça a l'air d'être effectivement décroissant au sens large.
Resterais à voir si les cas d'égalité sont moins nombreux qu'avec le max seul.

EDIT : non, en fait ça change pas grand chose concernant le nombre de cas à étudier.

[hussein515]

OK, en tous cas merci pour tes efforts.

hussein

[Ben314]

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