Exercice sur les matrices

[jklmmlkj]

Bonjour tout le monde, j'ai un exercice sur les matrices où j'ai un peu de mal. Voici l'exercice au complet :

Soit A . On appelle expression polynomiale en A (ou plus simplement polynôme en A) toute matrice de la forme :



où d est un entier naturel et . Les sont appelés coefficients et est le coefficient constant.
On admet dans cet exercice que pour toute matrice A, il existe des polynômes P(A) en A, non triviaux (c'est à dire avec ou moins un coefficient non nul), tels que P(A) = 0.

1-Montrer que la matrice A= vérifie P(A) = 0 avec P(A) = A²-. En déduire que A est inversible et donner son inverse.
->Ça j'ai réussi, et j'ai l'inverse de A qui est égal A.

2-Calculer A² avec A=. Déterminez des réels a et b tels que A² = aA + b. En déduire que A est inversible et donner son inverse.
->Je n'arrive pas à montrer que A est inversible... Sinon, j'ai a=2 et b=-7.

3-Soit A . Montrer que s'il existe un polynôme P(A) en A tel que P(A) = 0 et dont le coefficient constant est non nul, alors A est inversible. (On pourra trouver une relation de la forme 0 = où est un polynôme en A).

4-On suppose que A vérifie l'hypothèse suivante :
Tout polynôme Q(A) en A tel que Q(A) = 0 a un coefficient constant nul.
Montrer alors que A n'est pas inversible (on pourra remarquer que pour un tel polynôme on peut écrire Q(A) = A et raisonner par l'absurde).

5-Quelles équivalence a-t-on montrée?

Les questions 3,4 et 5, je n'y arrive pas non plus, si vous pouvez m'aider, ce serait avec plaisir!

Merci de vos réponses!

[Nightmare]

Salut !

2- Tu as A²=aA+bI2 et on cherche un matrice B telle que AB=I2 ! Rien de difficile, tu remarques par exemple que A²-aA=bI2, où encore par associativité, A(A-aI2)=bI2

l'inverse de A est donc 1/b(A-aI2)

Pour le 3) c'est pareil que le 2 !

Le reste, si tu as vraiment compris la 3 avec les indications tu devrais y arriver !

[jklmmlkj]

Ok merci, je vais réessayer!

[jklmmlkj]

Il y a un détail que je n'ai pas compris, tu as mis que A²-aA=bI2 <=> A(A-aI2) = bI2.
Or, a n'est pas égal à a*I2 comme a est un réel et non une matrice.
Du coup, on ne peut pas calculer l'inverse de la matrice car j'ai A-1 = -1/7(A-2) mais on peut pas faire A-2!
Sinon, il faut le faire par le calcul du déterminant,...
Merci d'avance!

[Nightmare]

Attention à la règle de factorisation sur les matrices !

Si A, B et C sont 3 matrices, AB+AC=A(B+C)

Dans notre cas on a donc A²-aA=A(A-a.I2) en prenant A=A, B=A et C = -aI2 !

[jklmmlkj]

J'ai A-1=

Mais le problème est que si je fait A*A-1, j'ai A*A-1 = J'ai

D'où vient mon problème?
Merci.

[Nightmare]

Surement une erreur de calcul. De tête il me semble que A² ne soit pas égal à 2A-7I2 !

[jklmmlkj]

Pourtant je viens de revérifier et A² est bien égal à 2A-7I2!

[Nightmare]

C'est donc que ton calcul de A² est mauvais ! A priori A² est égale à

[jklmmlkj]

C'est pourtant ce que j'ai bien trouvé! Je cherche mais je ne trouve pas! A-1 vaut bien -1/7(A-2*I2) ?
Merci.

[Nightmare]

Si tu as trouvé A² comme moi, alors on a pas A²=2A-7I2 !

l'élément de A² vaut 4, celui de 2A-7I2 vaut -3 !

[jklmmlkj]

"l'élément de A² vaut 4" -> c'est pas -5 comme tu m'as montré à la page précédente puisque A² = ?

Je comprend plus rien là! Et pour la 5, je ne vois pas trop ce qu'ils demandent...
Merci!

[Nightmare]

Euh pardon, l'élément a(1,2) !

[Nightmare]

Pour la 5), tu peux voir que la 4) n'est rien d'autre que la réciproque de la 3).

On a prouvé un théorème très intéressant : A est inversible si et ssi il existe un polynôme annulateur de A de valuation nulle.

[jklmmlkj]

Ah ok merci beaucoup!
Sinon 2A-7I2= 2 -7 = + =

a1,2 ne fait pas -3!