EXERCICE DE LOGIQUE sur les matrices

[Florix]

Bonjour,

Voici un autre exo sur les matrices :

ENONCE

Alors pour la premiere méthode, je trouve bn = n et an+1 = an + n car on a

a2 = 3
a3 = 6
a4 = 10 ....

Unique problème : ma relation ne marche que pour n supérieur ou égal à 3 or dans l'énoncé il est marqué quelquesoit n appartient à l'ensemble des entiers naturels

je vois pas trop comment faire du coup. En plus, faut-il démontrer les formules par récurrence ou peut-on noter "par récurence immédiate" ?

Et comment conclure sur An

Merci de vos réponses

[Mike_51]

Je n'ai pas la même chose pour les 1ers termes, j'ai a2=2,a3=3,a4=4
et b2=1,b3=3,b4=6.

[sirglorfindel]

Je pense que tu as fait des erreurs de calcul car je trouve :
a2=2
a3=3
a4=4...
autrement dit an=n

et
b2=1
b3=3
b4=6...
autrement dit b(n+1)=bn+n

Il faut démontrer les formules par récurrence (cela te permet de bien détailler ta multiplication matricielle et donc de bien montrer qu'il n'y a pas d'erreurs).
Pour conclure sur A^n, tu connais l'expression de an et pour celle de bn, tu utilises la somme des premiers termes 1+2+..+(n-1)=n(n-1)/2

[flight]

salut

en posant A=B+I avec B=(0 1 0)
(0 0 1)
(0 0 0)

et I=(1 0 0)
(0 1 0)
(0 0 1)


on a B^0=I B²=(0 0 1)
(0 0 0)
(0 0 0)

et pour tout n>2 B^n =(O) ainsi A^n=som( Cn,k .B^k.I^n-k)

on en deduit an=n et bn=n(n-1)/2

[Florix]

Merci à vous, je n'avais pas fait d'erreur de calcul mais juste confondu an et bn quand j'ai envoyé le post :mur:

Mais il y a quelque chose que je ne comprends pas

Comment flight calcule B^2 et B^n avec n > 2

Car B = A - I
Donc B^2 = (A - I)^2 = A^2 - 2AI + I^2 = A^2 - 2A + 1
Mais additionner un réel a une matrice je sais pas faire !

Et je ne comprends pas la démarche.

Merci d'avance pour votre aide

[elladan]

Flight ne calcule B² à partir de A mais A² à partir de B.
Effectivement, B² est plus simple à calculer à la main que A (plus de 0).

Ensuite, après avoir calculé B², il remarque B*B²=B^3=(0)
Et donc, comme B et I commutent (l'indentité commute avec toute matrice...), il peut appliquer la formule du binôme

Or I^k=I

Quand au calcul que tu fais, il est faux : I² ne vaut pas 1 mais I, toujours l'identité.
Donc il n'est pas question d'additionner un réel et une matrice mais deux matrices

[Florix]

Que faut-il conclure sur An alors ???

[Florix]

Enfin si on veut l'écrire sous forme de matrice

[Florix]

Du coup on sort le I de la somme, il nous reste I multiplié par la somme de ....

I x une matrice = une matrice, conclusion : A^n = Bn-k = 0 si n-k<3 ??? Ca me parait bizarre non ?

[elladan]

Etant donné que pour une puissance supérieure ou égale à 3, B^n est nulle, on obtient la formule suivante :


Remarque : au final, cette formule est valable aussi pour n < 3 car n ou n(n-1) s'annuleront.

Si tu tiens vraiment à mettre le résultat final sous forme de matrice, il ne te reste plus qu'à additionner les coefficients

J'espère que ça résout ton problème...

[Florix]

Oh oui suis je bete, j'avais pas penser a commuter I et B dans la somme !!!

Merci pour tout elledan