Exercice sur les matrices

[kaito974]

Bonjour, voila un exercice que je n'arrive pas à faire :

Soit m un nombre réel et f l'endomorphisme de l'espace vectoriel R^3 dont la matrice dans la base canonique B est : A=
2 4 1
1 m -1
-5 -3 8

1)Pour quelles valeurs de m l'application f est-elle un automorphisme de R^3 ?
==> Ici puisque l'on sait que f est un endomorphisme il faut alors montrer qu'elle est bijective?

2)Donner en fonction de m le rang de f.
On suppose désormais m=-1
3) Trouver une équation de Im(f).
4) P est le plan de E d'équation 4x+7y+3z=0 dans la base B. Montrer que (f+IdE)(P)=P
5) Les sous-espace Im(f) et Ker(f) sont-ils supplémentaires ?
6) f est-il une projection de R^3?

pour la 1) et 2) j'ai répondu:
puisque l'on est dans un esapce de dimension 3 et que l'image de la base contient 3 vecteur donc si elle est genératrice elle sera donc libre et c'est aussi une base

Donc je trouve que pour avoir f surjective m doit etre différent de 1,donc l'image de la base est génératrice et par conséquent c'est une base donc f est bijective d'ou l'automorphisme su R^3

de là on en déduit que si m=1 le rang de f est 2 dans le cas contraire son rang est 3.
mais comment trouver une équation de im(f) ?

[Joker62]

Pour la 1, il faut trouver une valeur de m telle que l'automorphisme associé est bijectif.

Donc en fait, il suffit de trouver m tel que f soit injectif
et ça revient à faire apparaître le noyau de f pour prouver qu'il est réduit à {0}

[kaito974]

mais si je ttrouve que f est surjective l'image de la base par f sera génératrice et puisqu'elle comporte 3 vecteurs et que l'on est dans un espace de dimension 3 l'image est par conséquent une base?

donc j'ai cherché les valeurs de m tel que f soit surjective et j'ai trouvé que m doit etre différent de 1 car si il est égal à 1 la 2e colonne est combinaison linéaire de la 1er et 3e colonne.n'est-ce pas correct?

[kaito974]

je pense qu'il y a une erreur dans l'énnoncé et qu'il faudrait plutot prendre m=1 non ??
dans ce cas qu'elle est l'équation de im(f)?

[kaito974]

im(f) serait une combinaison linéaire de la 1er colonne et de la 2e ?
soit im(f)=a(2,4,1)+b(-5,-3,8) avec a et b dans R
mais je ne vois pas comment utiliser cette réponse pour répondre à la question suivante.

[kaito974]

j'ai dit que P est le plan d'équation z=(-4x-7y)/3 donc P s'écrit :
x
y
(-4x-7y)/3

et j'ai vérifier que :

f(z)+z appartient à P
et sa marche

[kaito974]

on a :

x
y
(-4x-7y)/3
égale à la somme des matrice suivante

x-2a-4
y-a+b
(-4x-7y)/3 +5a -8b

+

2a
a
-5a

+

b
-b
8b

Donc P inclut dans (f+ id)(P) d'où l'égalité ? mais comment trouver ker(f) ici

[kaito974]

oui en effet en posant un systeme je trouve x' et y' en fonction de x et y mais aussi en fonction de a et b puisque im(f)=a(2,4,1)+b(-5,-3,8)

[kaito974]

j'aurais besoin d'aide pour les 2 derniéres questions je ne trouve pas que ker et im sont supplémentaires est-ce correct?

[kaito974]

pour la derniére question f serait une projection sur P dans la direction de -idE ?