Exercice sur les matrices -Niveau L1-

[Syphax]

Bonjour, je rencontre un problème dans l'exercice suivant :

Soit A la matrice comprenant des 0 sur la diagonale et une "matrice triangulaire de a" (désolé si j'ai mal décrit la matrice). avec a appartenant à R*.

On me demande de montrer que A² peut s'exprimer en fonction de A et In.
J'obtiens : A² = a.(n-1).A + a².(n-1).In (à vérifier?)

Puis, on me demande de déterminer les valeurs de a pour lesquelles A est inversible et de déterminer alors A^-1.

J'ai tenté de résoudre cette question avec la méthode par l'absurde en supposant que A est inversible et j'ai multiplié les deux membres de l'égalité par A^-1, mais en vain.

J'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Merci :we:

[mito94]

tu as deux méthode pour calculer A-1 cofacteurs ou pivot de gauss regarde ton cours et prend celle qui te convient le mieux .
Ensuite une matrice est inversible si det(A)... cf ton cours

[Syphax]

Il ne faudrait pas utiliser la question précédente ? :o

[Maxmau]

Bj
Une remarque:
Supposons: A² = t A + u I (t, u: des scalaires)
Si u non nul, A est inversible puisque A(A-tI)=(A-tI)A=uI

[Syphax]

Ben, comment tu peux dire que A(A-tI) = (A-tI)A ? Le produit matriciel n'est pas commutatif, non?

Si quelqu'un pourrait m'aider, ca serait sympa ;) (je dois obligatoirement le rendre pour demain et je bloque toujours :/)

Merci !

[fatal_error]

salut,

je dirais en reprenant
A(A-tI)=uI
que
A[ (A-tI)/u ]= I
et donc A^-1 = (A-tI)/u si A non nulle ET A-tI non nulle

[Skullkid]

Ben, comment tu peux dire que A(A-tI) = (A-tI)A ? Le produit matriciel n'est pas commutatif, non?

Salut, le produit matriciel n'est en effet pas commutatif, mais ça ne veut pas dire qu'on n'a jamais AB = BA, ça veut dire qu'en général, on n'a pas AB = BA. Dans ton cas B c'est pas n'importe qui, c'est A - tI. Il suffit de développer le produit pour se rendre compte de la commutativité :

A(A - tI) = A² - tA = (A - tI)A