Exercice sur les fonctions trigonométriques réciproques

[cocoflmt]

Bonjour,
Cela fait quelques jours que je bloque sur 2 questions de cet exercice, m'empêchant de le finir.

1) Montrer que si sont deux réels avec ab≠1 :


2)Montrer que si , alors

3) Étudier le cas , en distinguant les cas et .

4) Simplifier à l'aide de ces formules:


J'ai réussi à faire la première question à l'aide de la formule de et grâce à la périodicité de tan.
Pour la 2 et la 3, je ne comprends comment démontrer ces formules. Avec l'ensemble de définition ...?

Merci!

[phyelec]

Bonjour,

Voici une indication pour l'intervalle

La tangente est bijective sur l'intervalle , donc sur cet intervalle . Elle est périodique de période π, donc finalement

[cocoflmt]

Bonjour,

Voici une indication pour l'intervalle

La tangente est bijective sur l'intervalle , donc sur cet intervalle . Elle est périodique de période π, donc finalement

Bonsoir!
Merci de votre réponse,
Comment cette information peut m'aider pour les questions 2 et 3?

[phyelec]

Bonjour,

je pense qu'il faut vous appuyer sur des éléments de la démonstration de la question 1).

Je vous propose pour la question 1 ,sans garantie, l'approche suivante :
Si vous calculez vous verrez qu'il est positif pour ab<1 , ce qui veut dire que appartient à l'intervalle
Je présume que dans la question 1) que vous avez démontré la formule pour appartient à l'intervalle , vous pouvez donc conclure que pour ab<1

[cocoflmt]

Bonjour,

je pense qu'il faut vous appuyer sur des éléments de la démonstration de la question 1).

Je vous propose pour la question 1 ,sans garantie, l'approche suivante :
Si vous calculez vous verrez qu'il est positif pour ab<1 , ce qui veut dire que appartient à l'intervalle
Je présume que dans la question 1) que vous avez démontré la formule pour appartient à l'intervalle , vous pouvez donc conclure que pour ab<1

D'accord! Oui j'avais vu un raisonnement similaire sur internet!

Pour ma part, à la question 1, j'ai utilisé la formule trigonométrique qui m'a permis de retrouver la forme demandée en simplifiant grâce à .

Je pensais donc retrouver un raisonnement similaire dans la 2, puis 3.

Mon professeur m'a dit de travailler sur la piste de la simplification de à l'aide d'une formule de cours. Malgré tout, je reste bloquée...

[phyelec]

Bonjour,



pour la question 3)
pour ab >1 donc positif donc a est du même signe que b , dans ce cas donc 1-ab < 0 et 1+b/a est positif, on peut discuter du signe signe de l'ensemble en fonction de a

[cocoflmt]

Bonjour,



pour la question 3)
pour ab >1 donc positif donc a est du même signe que b , dans ce cas donc 1-ab < 0 et 1+b/a est positif, on peut discuter du signe signe de l'ensemble en fonction de a

Bonsoir, j'ai essayé la méthode avec le comme vous m'aviez conseillé, j'ai donc réussi à prouver les questions 2 et 3. Maintenant, je bloque sur la 4, je ne vois pas comment je peux simplifier avec ces valeurs.

Merci de vos réponses

[phyelec]

bonjour,

et bien utiliser la formule arctan a + arctan b, donc arc1/2 + arctan1/5 = arctan(7/9)

puis arctan(7/9)+ arctan(1/8)

en utilisant cette formule, j'ai trouvé arctan(1)=

[cocoflmt]

bonjour,

et bien utiliser la formule arctan a + arctan b, donc arc1/2 + arctan1/5 = arctan(7/9)

puis arctan(7/9)+ arctan(1/8)

en utilisant cette formule, j'ai trouvé arctan(1)=

Ah oui! C'était tout simple!
Je cherchais un raisonnement compliqué, alors qu'il suffisait juste de remplacer.
Merci beaucoup pour vos réponses!