Big exo fonctions réciproques

[celian]

Bonsoir à tous , j'ai un gros exercice sur les fonctions réciproques , j'ai essayé de répondre aux premières , mais j'aimerais votre avis , et votre aide svp :

On considère la fonction réelle f définie par f(x) = arctan(e^x) .

a) Montrer que f est strictement croissante sur R .

f'(x) = e^x / 1 + e^2x , cette expression est tjs positive , donc la fonction est toujours croissante .

b) On note J= f(R) . Déterminez l'intervalle J .

Quand x tend vers - l'infini , f(x) = 0 , quand ça tend vers + l'infini , f(x) tend vers pi/2 , donc J = ]0,pi/2[ , intervalle ouvert c'est bon ?

c) Montrer que f est une bijection de R sur J .

Vu que tout élément de J n'a qu'un seul antécédent dans R , f est une bijection .

d) Soit g J ---> R l'application réciproque de f . Montrer que g est dérivable en tout point de J .

Vu que la dérivée de la fonction f ne s'annule jamais , g est dérivable sur tout point de J .

e) Calculer g'(x) , x appartient à J . On pourra d'abord calculer g(x) .

Alors là moi je sais calculer g'(x) mais pas g(x) c'est très étrange :

g'(x) = 1/f'(x) = 1+ e^2x / e^x .

Quelqu'un saurait comment calculer g(x) ?

Que pensez vous de mes réponses ?

merci de votre soutien .

[alavacommejetepousse]

bonsoir
a) ajouter f ' STRICTEMENT positive
c) justification "gratuite" utiliser plutôtle "théorème de la bijection"
e) confusion entre les x et les y
f(x) = y ssi arctan epx x = y ssi x = ln tan (y) = g(y)

[celian]

je ne comprends pas trop pour le e , il n'y a aucune confusion avec les x j'ai bien recopié l'énoncé .

vous dites que g(x) = ln tan(y) ?

[alavacommejetepousse]

g ' (y) = 1 / f ' (x) et non ce que tu écris


g(y) = ln tan y

[celian]

merci j'ai bien compris , mlais pour la notation j'avais bon vu que je disais que x appartient à J , il reste 2 malheureuses questions :

écrire le développement limité de la fonction g(x) à l'ordre 3 pour x = pi/4 .

donc la fonction c'est ln(tan(x)) , c'est une composition , dans ce cas là comment on s'y prend ?

[alavacommejetepousse]

x = pi /4 +h

h -> 0

tan( a + h) = ...

faire le dl en h à l'ordre3 à l'intérieur du ln ds un premier temps

[celian]

euh j'ai cherché mais je connais aucune formule qui donne tan (a+b)...