Exercice sur des limites avec sinus

[melimelo62]

Bonsoir à tous!
Je suis en première année de licence et je viens de reprendre les maths au second semestreµ. Le prof est persuadé que l'on vient tous de S alors que c'est plutôt ES. Il a donc basé ses cours sur les programme de S. J'ai donc quelques soucis pour tout comprendre
Voilà mon exercice:
Soit f :R->R une fonction définie par :
f(x)=x²sin(1/x)+ (x²-1) si x différent de0
Et f(x)=1 si x=0
1) Calculer la limite de f lorsque x tend vers 0, f est-elle continue en 0 ?
2) Calculer f’(x) pour x différent de -1,1 et 0
3) Etudier la dérivabilité de f en -1,1 et 0
4) La fonction f’ est-elle continue en 0 ?
Tout d'abord je ne sais pas faire la limite de sinus, merci d'avance

[capitaine nuggets]

Salut !

Bonsoir à tous!
Je suis en première année de licence et je viens de reprendre les maths au second semestreµ. Le prof est persuadé que l'on vient tous de S alors que c'est plutôt ES. Il a donc basé ses cours sur les programme de S. J'ai donc quelques soucis pour tout comprendre
Voilà mon exercice:
Soit f :R->R une fonction définie par :
f(x)=x²sin(1/x)+ (x²-1) si x différent de0
Et f(x)=1 si x=0
1) Calculer la limite de f lorsque x tend vers 0, f est-elle continue en 0 ?
2) Calculer f’(x) pour x différent de -1,1 et 0
3) Etudier la dérivabilité de f en -1,1 et 0
4) La fonction f’ est-elle continue en 0 ?
Tout d'abord je ne sais pas faire la limite de sinus, merci d'avance

Sers-toi du fait que pour tout réel , .

[Archytas]

Bonsoir à tous!
Je suis en première année de licence et je viens de reprendre les maths au second semestreµ. Le prof est persuadé que l'on vient tous de S alors que c'est plutôt ES. Il a donc basé ses cours sur les programme de S. J'ai donc quelques soucis pour tout comprendre
Voilà mon exercice:
Soit f :R->R une fonction définie par :
f(x)=x²sin(1/x)+ (x²-1) si x différent de0
Et f(x)=1 si x=0
1) Calculer la limite de f lorsque x tend vers 0, f est-elle continue en 0 ?
2) Calculer f’(x) pour x différent de -1,1 et 0
3) Etudier la dérivabilité de f en -1,1 et 0
4) La fonction f’ est-elle continue en 0 ?
Tout d'abord je ne sais pas faire la limite de sinus, merci d'avance

La limite du sinus n'existe pas en l'infini, tu peux seulement dire que sin(1/x) est borné et ça te suffit pour dire trouver lim x²sin(1/x) lorsque x tend vers 0 !

[melimelo62]

donc limf(x)=1 quand x tend vers 0 (car x²-1 est une valeur absolue dans l'énoncé que j'ai)

[Archytas]

donc limf(x)=1 quand x tend vers 0 (car x²-1 est une valeur absolue dans l'énoncé que j'ai)

Oui c'est ça !

[melimelo62]

merci
pour la dérivée j'ai trouvé:
f'(x)=2sin(1/x)+2xcos(1/x)(-1/x²)+2x
=2sin(1/x)-(2/x)cos(1/x)+2x
est-ce-que c'est bon? (c'est la première fois que je dérive sinus)

[Archytas]

merci
pour la dérivée j'ai trouvé:
f'(x)=2sin(1/x)+2xcos(1/x)(-1/x²)+2x
=2sin(1/x)-(2/x)cos(1/x)+2x
est-ce-que c'est bon? (c'est la première fois que je dérive sinus)

Pour dériver x²sin(1/x) sers toi de (uv)'=u'v+v'u et [u(v)]'=v'.u'(v) réessai parce que c'est pas tout à fait ça, tu t'es mélangée dans les x (= !

[melimelo62]

Merci je n'avais pas vu le u(v)
donc ça me donne:
f'(x)=2xsin(1/x)+x²*(1/x²)*cos(1/x)+2x
f'(x)=2xsin(1/x)+cos(1/x)+2x
c'est ça?

[melimelo62]

ensuite, j'ai trouvé limf'(x)=2sin+cos1+2 quand x tend vers -1 et lim f'(x)=2sin1+cos1+2 quand x tend vers 1
mais je bloque pour 0 car je ne sais pas comment on fait avec cosinus et sinus pourriez-vous m'expliquer s'il vous plait?

[Archytas]

Merci je n'avais pas vu le u(v)
donc ça me donne:
f'(x)=2xsin(1/x)+x²*(1/x²)*cos(1/x)+2x
f'(x)=2xsin(1/x)+cos(1/x)+2x
c'est ça?

Haha oui au signe près c'est ça mais tu n'avais pas fais la faute la première ça doit être une erreur d'étourderie ( -1/x² ). Cela dit pour c'est vrai uniquement pour x entre - l'infini et -1 et 1 et + l'infini (attention à la valeur absolue).
Et du coup pour les limites ça n'est pas correct /= !
Pour la limite en 0 elle n'existe pas (même chose que la limite du cosinus en l'infini). Cela dit je ne sais pas si on peut dire que même si elle n'existe pas la limite à droite et la limite à gauche sont les mêmes parce qu'on a tout de même f(x) équivalente à -cos(1/x) en 0 à droite et à gauche, et j'ai pas un assez bon niveau pour y répondre désolé... :hein: enfin à priori je dirais que comme la limite n'existe pas elle n'est pas dérivable.

[Anonyme]

Bonsoir , j'aimerais de l'aide pour le calcul de cette limite où j'ai vraiment du mal svp : lim sinx-x/x^2 quand x tend vers 0 . Merci , cordialement .

[Archytas]

Bonsoir , j'aimerais de l'aide pour le calcul de cette limite où j'ai vraiment du mal svp : lim sinx-x/x^2 quand x tend vers 0 . Merci , cordialement .

Salut, en posant f(x) = sin(x)-x et en factorisant ton expression par 1/x tu devrais pouvoir retrouver la limite du taux de variation de f en 0 ensuite en posant g(x)=cos(x) tu peux appliquer exactement la même méthode pour avoir ta limite !

[Anonyme]

Salut, en posant f(x) = sin(x)-x et en factorisant ton expression par 1/x tu devrais pouvoir retrouver la limite du taux de variation de f en 0 ensuite en posant g(x)=cos(x) tu peux appliquer exactement la même méthode pour avoir ta limite !

Salut , merci mais je comprend pas pourquoi je pose g(x)=cos(x) ? C'est quoi le taux de variation je ne m'en souviens plus stp .

[Archytas]

Salut , merci mais je comprend pas pourquoi je pose g(x)=cos(x) ? C'est quoi le taux de variation je ne m'en souviens plus stp .

, on considère ... oui désolé je me suis emmelé les pinceaux c'est encore plus simple arrivé là tu n'as plus qu'à calculer f'(0) :id: !

[Anonyme]

, on considère ... oui désolé je me suis emmelé les pinceaux c'est encore plus simple arrivé là tu n'as plus qu'à calculer f'(0) :id: !

Merci c'est gentil , mais cela fait 0 puisque 1/x ça fait 0 quand x tend vers 0 ainsi par produit cela fait 0 non ? Et f'(0)=cos(0)-1=1-1=0 non ?

[Anonyme]

Merci c'est gentil , mais cela fait 0 puisque 1/x ça fait 0 quand x tend vers 0 ainsi par produit cela fait 0 non ? Et f'(0)=cos(0)-1=1-1=0 non ?

J'ai aussi fait une limite qui est lim cos x -1/x^2 j'ai fait trouve 0 c'est ça ? Stp

[Archytas]

J'ai aussi fait une limite qui est lim cos x -1/x^2 j'ai fait trouve 0 c'est ça ? Stp

Non mais tu as ta limite qui est = (cos(0)-1)*lim(1/x) or cos(0)-1= ... t'as plus qu'à cnclure. Tu n'as plus de cos(x) en fait...