Exercice série entière

[benj3850]

bonjour a tous,

voial j'ai un petit probleme avec une question dans un exercice sur les series entieres :

On considère la série entière : somme de 1 à +oo de ( x^(2n+2) ) / ( n(n+1)(2n+1) )
Soit R le rayon de convergence, et soit f la fonction somme de la série entière en les points où celle-ci converge.

la première question est de trouver son rayon de convergence (j'ai trouver 1, corriger moi si je me trompe :) ) puis juste après, et c'est là ou je bloque, il demande de montrer que f est définie sur [-R,R] et continue sur cet intervalle.
:triste: la j'ai un pe de mal je dois dire

merci d'avance !

[Sdec25]

Salut
Pour le rayon c'est bon, comme la suite ne comporte que des n^a, c'est 1.
Après il faut vérifier que ça converge pour x=1 et x=-1
Pour x=1 la suite est équivalente en l'infini à 1/(2n^3) donc la série est absolument convergente, donc convergente pour x=-1 aussi.
Pour montrer qu'elle est continue tu peux vérifier qu'elle est définie sur [-1, 1], ce qui est évident puisque la série converge.

[benj3850]

merci beaucoup Sdec25 pour ta reponse ;)

[benj3850]

re a tous !

voila j'ai un petit probleme cette fois pour la suite de l'exercice :

http://ufr-mathematiques.univ-lyon1.fr/licence/archives/sujets/pdf/0405/MathsIII-1_0405_ex_1.pdf

c'est le 3) de l'exo 1, j'ai trouvé que f etait égale à :

somme de x^(2n+2)/n + somme de x^(2n+2)/n+1 -4 * somme de x^(2n+2)/(2n+1)

appelons H I J chaque somme respectivement.

je trouve que I est égal à -ln(1-x^2) (corrigez moi si je me trompe )
mais voila le probleme c'est que je trouve pas de liens avec d'autre fonctions usuelles pour les 2 autres :s
si vous avez une idée elle serait la bienvenue
Pour H il faudrait connaitre le developpement de somme de Y^n / n mais je n'en connais pas :triste:

merci d'avance

[Sdec25]

Re
Pour le premier, j'ai trouvé
Il faut d'abord diviser x² et dériver.

Pour le 2ème, en dérivant on multiplie par (2n+2), c'est-à-dire 2(n+1) et le n+1 du dénominateur s'en va.
Pour le 3ème c'est pareil, sauf qu'il faut d'abord diviser par x pour qu'on ait

Si tu veux je peux t'exposer ici le raisonnement, et si tu veux vérifier facilement tes résultats tu peux utiliser un logiciel qui fait du calcul formel comme Maxima.

[benj3850]

peux tu detaillé le calcul pour le premier car je n'est pas très bien compris quand tu dis de diviser par x²

[Sdec25]

Sinon pour I j'ai trouvé -ln(1-x²) - x²
Et la fonction qui correspond à la série x^n/n est -ln(1-x)

[Sdec25]

Donc pour le premier (somme de x^(2n+2)/n) il y a plusieurs méthodes :


Là soit tu dérives pour trouver :
On aurait pu dire directement que avec Y=x²