Exercice raisonnement par analyse synthèse

[Harmonie]

Bonjour à tous, après maints efforts, je me suis résolue à demander votre aide de nouveau

Déterminer les fonctions f : R --> R telles que : pour tout x de R, f(x) + xf(1 x) = 1 + x.

Mon raisonnement

Soit f une fonction solution du problème s'il en existe

En posant y = 1 - x on a x = 1 - y

D'où f(x) + x * f(1-x) = 1 + x

Soit f(1-y) + (1-y) * f(1-1-y)

On obtient alors f(1-y) + (1-y)*f(y) = 2-y

En multipliant par y on a y* f(1-y) + (y-y²) * f(y) = 2y - y²

C'est à partir de là que je fais fausse route :mur: :mur: :mur:

pour moi on obtient :
y * f(1) - f(y) + (y-y²) * f(y) = 2y - y²

au lieu de 1+y - f(y) + (y-y²) * f(y) = 2y - y²

Ce qui permettrait d'écrire (1-y+y²) * f(y) = 1 + y² - y

Donc f(y) = 1 car 1-y+y² différent de 0
D'où la conclusion que la solution au problème est la fonction f constante et égale à 1

Correction complète :

Soit f une fonction solution du problème (s’il en existe).
Alors, en posant y = 1 x, on a f(1 y) + (1 y)f(y) = 2 y pour tout réel y.

Ainsi y*f(1 y) + (y y²)f(y) = 2y y²

donc 1 + y f(y) + (y y²)*f(y) = 2y y².

On obtient donc (1 y + y²)*f(y) = 1 y + y² donc f(y) = 1 car 1 y + y² différent de 0

Ainsi f est nécessairement la fonction constante égale à 1.
Réciproquement, cette fonction convient : c’est donc la seule solution du problème.

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer pourquoi y*f(1-y) = 1+y ?

Je ne comprends pas non plus comment en partant de 1 + y f(y) + (y y²)f(y) = 2y y²
On arrive à (1 y + y²)f(y) = 1 y + y²

Merci d'avance :happy2:

[adrien69]

Salut, la première formule est valable pour tout x, donc en particulier pour y.
Donc f(y)+yf(1-y)= 1+y.
Soit encore yf(1-y)=1+y-f(y)
On injecte ça dans yf(1-y)+(y-y²)f(y)=2y-y²
On obtient 1+y-f(y)+(y-y²)f(y)=2y-y²
Et après on met 1+y à droite :
(y-y²)f(y)-f(y)=y-y²-1
On met f(y) en facteur et on arrive à la dernière ligne pour laquelle tu posais une question.

[Harmonie]

Ok Super merci !