Exercice pour s'endormir

[yos]

Ce soir je m'endormirai avec l'exercice suivant :

soit G un groupe fini non abélien. Le nombre de couples (x,y) qui commutent divisé par le nombre total de couples (x,y) est inférieur à 5/8.

[X-2000 (PC)]

Alors vous serez sympa de pas poster de solution avant demain hein?

[Elvis]

Pas de post, mais tout simplement : bon courage !

[tize]

Ça y est, je crois que je vais pas fermer l'œil de la nuit...

[klevia]

C'est impressionnant la capacité que j'ai de me rendre compte très rapidement que je n'arriverai pas à faire un exercice ....

[nuage]

Salut,

C'est impressionnant la capacité que j'ai de me rendre compte très rapidement que je n'arriverai pas à faire un exercice ....

ne te décourage pas si vite.

[busard_des_roseaux]

j'envie ceux qui peuvent lire au lit.

[Joker62]

Heuresement que j'ai eu une grosse journée :)

Je dirais G non abélien, donc Nombre de couple qui commute / Nombre de couple < 1

C'est pas mal hein ;) ?

[tize]

J'ajoute maintenant ceci : montrer que ce nombre peut être ramené à 11/27 si l'on suppose |G| impaire...Ce qui est facile quand on à démontré le premier résultat (non que l'un implique l'autre mais la démonstration est la "même")

[yos]

Bon je vois que Tize a trouvé! Bravo!!
Pour ma part cette exercice a parfaitement rempli sa fonction : il m'a endormi en 4 minutes au milieu d'un calcul combinatoire sur les classses de conjugaison de G. Sûr qu'avec plus de temps j'aurais trouvé la solution. Je m'y remets ce soir, mais pas tout de suite car j'ai un nombre de copies en .
Si vous avez une solution, vous pouvez poster, je regarderai pas.

[tize]

Oui mais en fait je l'avais déjà vu il y a longtemps...je ne m'en souvenais plus mais ça me disait quelque chose...et puis ça m'est revenu... (ma mémoire laisse à désirer comme tu as pu remarquer... :we: )
Aussi je ne posterai pas la démonstration tout de suite pour ceux qui veulent chercher...peut être demain...

[ThSQ]

En fait, si j'ai bon, c'est juste quelques manips arithmétiques. Je me hasarde à une généralisation .....

Soit q est le plus petit premier divisant |G|.

Z(G) = centre de G
C(x) = centralisateur de x. C'est un ss-groupe de G qui contient Z(G) et Z(G) en est un sous-groupe.




si , C(x) contient strictement Z(G) donc
On a donc en fait

Le nombre de couples qui commutent est




On divise par pour avoir la proba :

On peut donc majorer par .

dans le cas général
dans le cas impair

Ca donne donc bien 5/8 dans le cas général.
Ca donne aussi 11/27 dans le cas impair.

Si G est un p-groupe, , non commutatif n > 2, donc il y a un meilleur majorant (que je laisse au lecteur s'il est pas parti en courant avant)


Si seulement je pouvais avoir un truc comme ça à l'oral plutôt qu'un de ces exos calculatoires affreux qu'on voit trop souvent.

[tize]

Si seulement je pouvais avoir un truc comme ça à l'oral plutôt qu'un de ces exos calculatoires affreux qu'on voit souvent.

Très intéressant, j'aime bien...moi tout me fait peur mais attention aux trucs calculatoire...q=3 ça donne bien 11/27 et pas 11/17

[ThSQ]

Très intéressant, j'aime bien...moi tout me fait peur mais attention aux trucs calculatoire...q=3 ça donne bien 11/27 et pas 11/17

Ouais ouais je règle les dernières typos.

[yos]

J'ai fait ça :
j'ai pris la table GXG du groupe et j'ai essayé d'y mettre le plus possible de couples qui commutent :
G/Z est non cyclique donc le centre Z est d'indice > 3. Un centre maximal est donc d'indice 4. On a avec ça dans la table, deux rectangles de côtés n/4 par n et qui se coupent selon un carré de côté n/4, formés de couples qui commutent. Soit 7n²/16 couples qui commutent.
A cela, on ajoute les couples (x,y) qui commutent avec x et y pas dans Z. Dans une ligne donnée, il y a au plus n/2 couples qui commutent (car le commutant d'un élément x est un sous-groupe et comme c'est pas G c'est un groupe d'indice au moins 2). Ce qui fait dans le carré restant de côté 3n/4, un maximum de couples qui commutent.
Le total est donc au plus de 5n²/8, d'où la proportion maximale annoncée.
Y-a-t-il des cas d'égalité? J'y regarde.