Exercice Matrice

[supernova62]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à résoudre cet exercice portant sur les matrices. Je n'arrive pas à obtenir une réponse correcte car je retombe toujours sur une solution nulle.

Voici l'énoncé :


Si quelqu'un peut m'aider ce serait sympa car je suis vraiment bloqué sur ces 2 questions.

Merci !

[FLBP]

Bonsoir,
Il faut trouver les vecteurs propres.

Donc résoudre le système suivant :




Observer pour quelles valeurs de : s'annule.

Cordialement.

[Kolis]

Bonjour @FLBP !
J'ai des doutes sur la possibilité de faire le produit de ta dernière équation.

@supernova62 : le genre d'énoncé que je déteste. Impossible de savoir quels sont les éléments désignés par 0.1 etc... ?

[FLBP]

Oups, merci Kolis

[chan79]

Tu as calculé le déterminant de A-I ?

[pascal16]

Je donne quelques explications sur le pourquoi.
AX=X <=> (A-Id)X=0

si det (A-Id) n'est pas nul, (A-Id) est inversible, seul le vecteur nul est solution.

Donc det (A-Id) =0 dans les cas qui nous intéresse.
D'un point de vu application, on est en algèbre linéaire, l'antécédent de 0 est un sous EV, par exemple, une droite vectorielle. Seuls des vecteurs appartenant à cette droite vérifierons AX=X .

Le calcul des vecteurs propre vont donner une base dont certains vecteurs engendrent le ssev vérifiant AX=X. Sans aller aussi aussi loin, la "relation" demandée, peut se voir comme un pivot de Gauss pour résoudre AX=X ou (A-Id)X=0, et il faut qu'il y ait un problème de pivot.

PS : la somme des élément de chacune des trois premières colonnes est 1, ça sent la matrice probabiliste (a=0.1 serait le pompon)

[pascal16]

Après un rapide calcul non vérifié, j'ai bien le pompon comme solution pour a.
ensuite les 3 premières lignes sont des vecteurs libres, le ssev recherché est bien une droite vectorielle dont un vecteur directeur est(10/3 ; 6/5 ; 91/30 ; 1) <- calculs non vérifiés. Les solutions recherchées sont donc toutes proportionnelles à ce vecteur.

es-tu arrivé à t'en sortir ?