Exercice en algèbre de construction.

[Houda.9rayti]

Bonsoir tout le monde.
Je suis un peu coincée sur cet exercice, le voilà:

Construire f de L(R²), non nulle, tel que f²=0
Construire g de L(R²) tel que g²=-Id

Voilà ce que j'ai trouvé
pour f, ce que je peux dire c'est que Imf est incluse dans Kerf (f(f(x)) = 0 donc f(x) appartient a Kerf )
et la blocage, je sais pas comment avancer...

Toute indication est la bienvenue,
Merci.

[Ben314]

Salut,

1) Si {e1,e2} est la base canonique, prend par exemple f(e1)=e2 et f(e2)=... (pas le choix...)

2) Si {e1,e2} est la base canonique, prend par exemple g(e1)=e2 et g(e2)=... (pas le choix...)

P.S. : ce n'est pas un copié collé qui a déconné...

[Houda.9rayti]

Salut,

1) Si {e1,e2} est la base canonique, prend par exemple f(e1)=e2 et f(e2)=... (pas le choix...)

2) Si {e1,e2} est la base canonique, prend par exemple g(e1)=e2 et g(e2)=... (pas le choix...)

P.S. : ce n'est pas un copié collé qui a déconné...

1)
Si {e1,e2} est la base canonique de R²
je prends f(e1)=e2
donc f(e2)=f²(e1)=0

2) Si {e1,e2} est la base canonique,
g(e1)=e2
implique g(e2)=g²(e1)=-e1

[Ben314]

Reste à vérifier qu'effectivement ça marche, c'est à dire que fof=0 et que gog=-Id.
Ce qui n'est pas très compliqué...

(je pense que tu as vu qu'en endomorphisme est entièrement déterminé par l'image d'une base donc que tes endomorphismes f et g sont entièrement déterminés)

[chan79]

un autre exemple pour le 1)
f(e1)=e1 + 2e2
f(e2)=-0.5e1 - e2

[Houda.9rayti]

On a f(x) appartient à Vect (f(e1), f(e2))
donc f(x)=af(e1)+bf(e2)

on prend f(e1)=e2 et f(e2)=0 donc f(x)=af(e1)

on a effectivement
f²(x)=af(f(e1))=af(e2)=0
fof=0

c'est correct comme ça ? j'ai l'impression que je donne un cas particulier
ça marche aussi si je prends f(e1)=e2 et f(e2)=0
il n'ya donc pas une forme générale pour contruire ce f tel que f²=0 ?

[Ben314]

Si, il y a une forme générale qui n'est pas hyper difficile à trouver, mais vu le "Construire f telle que..." de ton énoncé, j'avais l'impression qu'on ne te demandais qu'un exemple de telle fonction.

Après, si tu veut la "forme générale", tu peut partir de f(e1)=a.e1+b.e2 (qui englobe tout les endomorphismes possibles) et regarde ce qu'il faut prendre pour f(e2) pour que ça marche (et les conditions éventuelles qu'il y a sur a et b...)

[Houda.9rayti]

La question figure comme ça dans ma fiche de TD, moi j'ai cru qu'on me demande d'écrire la forme générale.
Comment je peux la trouver cette forme générale ?

[Houda.9rayti]

Ok je vais voir.

[Houda.9rayti]

Si, il y a une forme générale qui n'est pas hyper difficile à trouver, mais vu le "Construire f telle que..." de ton énoncé, j'avais l'impression qu'on ne te demandais qu'un exemple de telle fonction.

Après, si tu veut la "forme générale", tu peut partir de f(e1)=a.e1+b.e2 (qui englobe tout les endomorphismes possibles) et regarde ce qu'il faut prendre pour f(e2) pour que ça marche (et les conditions éventuelles qu'il y a sur a et b...)

1)
on peut écrire : f(e1)=ae1+be2
donc f²(e1)=af(e1)+bf(e2)=0

si b est différent de 0 alors f(e2)= (-a/b)f(e1)

si b=0 alors f(e1)=ae1 donc f²(e1)=af(e1)=0
donc f(e1)=0
or f est non nulle donc b est différent de 0

pour tous X de R² il existe m, n de R tels que
f(X)= mf(e1) + nf(e2)
= f(e1) ( m -a/b n ) où a et b sont différents de 0 et vérifient f(e1)=ae1+be2

est-ce que c'est bien juste ?

[Ben314]

Presque :

"f(e1)=0 or f est non nulle donc b est différent de 0" n'est pas correct : dire que f est "non nulle", ça veut dire qu'on n'a pas "f(X)=0 pour tout X", c'est à dire que "Il existe X tel que f(X) soit non nul" et on peut tout à fait avoir f(e1)=0. Par contre, il ne faut pas qu'en plus on ait f(e2)=0, sinon f(X) serait effectivement nulle pour tout X.
Donc, par exemple, f(e1)=0 et f(e2)=e1 est une solution (non nulle) à ton problème.

Sinon, le reste est bon (peut être faudrait il à la fin rajouter que, vu que f(X)=lambda.f(e1) on va bien avoir f²(X)=0)
Je ne sais pas si tu as vu les matrices associées aux endomorphismes.
Si oui, ça serait peut être intéressant d'aller "un peu plus loin" dans l'évaluation de f(e2) en écrivant que :
f(e2)=-(a/b)f(e_1)=-(a/b)[ae1+be2]=-(a²/b)e1-ae2
Qui permet directement d'écrire la matrice de f dans la base (e1,e2)

[chan79]

Tu pourrais poser:
f(e1)=a*e1+b*e2
f(e2)=c*e1+d*e2
il faut que
f(f(e1))=0 et f(f(e2))=0

cela revient à résoudre:

a²+bc=0
c(a+d)=0
b(a+d)=0
bc+d²=0
sachant que (a,b,c,d) ce doit pas être égal à (0,0,0,0)


si b=0 tu as:
a=d=0
donc tu as
f(e1)=0
f(e2)=c*e1 avec c non nul

si b est non nul
a=-d
c=-a²/b
soit
f(e1)=a*e1+b*e2
f(e2)=-a²/b*e1-a*e2

[Houda.9rayti]

Merci beaucoup pour votre aide.