Etude de fonction et suite définie implicitement

[elena.vi]

Voila mon exercice:

La fonction est définie pour tout entier n supérieur ou égal à n, pour tout x appartenant à R+, fn(x)=x^n+9x^2+4

J'ai déjà montré que la fonction fn(x)=0 admettait une unique solution un.
Puis que un appartenait à [0;2/3] et que pour tout x appartenant à [0;1] fn+1(x)inférieur à fn(x).

Il faut en déduire le signe de fn(un+1), puis les variations de la suite (un).

Mais je ne comprends pas comment je peut le déduire de l'inégalité précédente.

Merci d'avance

[uztop]

Bonjour,

je crois qu'il y a un problème dans ton énoncé:
u1 et u2 ne sont pas définis (x+9x^2+4 = 0 n'a pas de solution par exemple)
u3 est défini (bon c'est normal pour un polynôme de degré impair) mais n'est pas dans [0;2/3]
Et ainsi de suite.

[busard_des_roseaux]

Voila mon exercice:

fn(x)=x^n+9x^2+4

la fonction fn(x)=0 admettait une unique solution un.
Puis que un appartenait à [0;2/3]

ce n'est pas possible car est la somme de 3 fonctions croissantes sur l'intervalle

[elena.vi]

Le fonction est continue et strictement croissante sur l'intervalle. Et 0 appartient à [-infini; +infini] donc d'après le théorème de la bijection fn(x)=0 admet une unique solution.

Pour le fait que un E [0;2/3] d'après le théorème des valeurs intermédiaires car fn(0)<0 et fn(2/3)>0.

Ca avait l'air cohérent avec les questions de l'exercice...

[uztop]

euh, je comprends pas grand chose à ce que tu dis:
fn(0)=4 quel que soit n, il n'est donc pas négatif.
On voit facilement que un ne peut pas exister dans R+:
- pour n pair x^n+9x^2 >= 0 dans R et donc x^n+9x^2+4=0 est impossible
- pour n impair x^n+9x^2 >= 0 dans R+; il faut donc aller chercher la solution dans R-, mais on n'est plus dans l'ensemble de définition là ...

[busard_des_roseaux]

fn(x)=x^n+9x^2+4

tu es sûre de cette formule ?

[elena.vi]

je viens de me rendre compte que je l'ai tapé avec une erreur de signe la fonction c'est fn(x)=x^n+9x²-4

dans ce cas fn(0)=-4 ce qui correspond à ce que j'ai... Désolé pour cette erreur...

[busard_des_roseaux]

Voila mon exercice:

La fonction est définie pour tout entier n supérieur ou égal à n, pour tout x appartenant à R+, fn(x)=x^n+9x^2+4

J'ai déjà montré que la fonction fn(x)=0 admettait une unique solution un.
Puis que un appartenait à [0;2/3] et que pour tout x appartenant à [0;1] fn+1(x)inférieur à fn(x).

Il faut en déduire le signe de fn(un+1), puis les variations de la suite (un).

Mais je ne comprends pas comment je peut le déduire de l'inégalité précédente.

Merci d'avance

re,


je calcule la dérivée de f_n: .................
cette fonction est strictement croissante sur l'intervalle ............


donc est strictement ..............

donc,

nous pouvons comparer et


on en déduit que la suite u_n est ........

[busard_des_roseaux]

saurais tu montrer ensuite que:



par exemple avec le thm des gendarmes ?