Suite définie implicitement (revision)

[Hans Pfaal]

Bonjour,

Pour des révisions, j'ai voulu faire cet exercice à priori banal mais dont la dernière question me pose problème :

a ) Montrer que a une unique solution dans

b ) Montrer que la suite converge vers une limite
(selon les méthodes classiques on obtient )

et la fin dont-il est question ;

c ) Donner un équivalent de
(donc de )

Je ne me souviens pas avoir vu de méthode pour ce cas là, et cela me parait d'autant moins évident que l'on a aussi :

.

Quelqu'un ici saurait-il m'aider ?
Merci.

[alavacommejetepousse]

bonsoir oui je peux t aider

qu' as tu su faire ?

[Hans Pfaal]

Et bien, le a) et le b) :

a) l'étude des variations de la fonction donne vite le résultat (utilisation du tvi).

b) on montre que est croissante ( en montrant que ) et majorée par 1. Cette suite est donc convergente vers une limite . Supposer différent de conduit à une contradiction ( précisément que ), ce dont on conclue que .

Il est pratique d'introduire positive et convergente vers 0 telle que et qui vérifie donc : .

Le passage au logarithme donne en effet aisément : .

Seulement je n'arrive pas à obtenir d'autres informations me permettant d'obtenir l'équivalent de ?

[ToToR_2000]

Un développement limité de ton expression en par exemple ?

[Hans Pfaal]

Bonjour,

Je ne vois pourtant pas... le passage au logarithme donne :



Un développement limité en mène à :



ou encore



ce qui ne m'a permis jusqu'alors que de trouver ~ , résultat qui ne m'a pas été plus utile.

Cette démarche est-elle bonne ? il y a peut être une erreur que je fais et refais sans m'en appercevoir ?

[ToToR_2000]

non, ce que tu fais est juste et bien justifié, pas de souci de ce côté.
Mais tu n'utilises pas toute l'information que tu as trouvée.

Je veux parler de .
Pour , tu savais qu'il tendait vers 1 et tu as fait un changement de variable pour travailler sur une suite qui tendait vers 0 (c'est ce qu'il faut faire pour effectuer les dev limités).

Sachant ça, il faut faire la même chose avec : essayer de trouver une suite qui dépend directement de mais qui tend vers 0 et injecter tout ça dans ton dev limité.

[Hans Pfaal]

Selon vos indications, j'introduis tendant vers 0 et positive telle que .

De :
on obtient :
soit

Or on a
donc
et comme on obtient finalement :


qui donne le résultat : eq .

Est-ce juste ? Mais j'ai l'impression d'avoir répondu "à l'envers" en exprimant selon ?

Merci pour vos indications.

[ToToR_2000]

ce que tu as fais est juste.
En réalité, il n'y a pas de "bon" ni de "mauvais" sens pour écrire un développement limité. Tu fais certainement référence à:

or en revenant aux définitions, on pourrait facilement montrer que cela implique:

ce qui est le "bon" sens.

Une petite critique qui relève vraiment du détail mais qui permet de garder une plus grande cohérence dans la démarche: il aurait fallu travailler uniquement avec dans le dev limité et obtenir son équivalent, puis finalement revenir à , mais ta démonstration personnelle est tout à fait juste.

Et si tu veux être certain d'avoir bien compris ce type d'exercice (ultra-classique), tu peux essayer de trouver le terme suivant dans le dev limité de .

[leon1789]

b) on montre que est croissante ( en montrant que ) et majorée par 1. Cette suite est donc convergente vers une limite . Supposer différent de conduit à une contradiction ( précisément que ), ce dont on conclue que .

C'est amusant de démontrer : si l x_n = (1-x_n)^{1/n} > (1/2)^{1/n}[/TEX] (pour n > 1) et le théorème des gendarmes montre à la fois que converge et que sa limite vaut 1.

Mais cela n'aide en rien à connaître un équivalent de 1-x_n :triste: