[Variable Complexe] Etude de l'équation de Poisson dans une

[sky-mars]

Hello tout le monde
(je deviens le chieur pro en variable complexe désolé :hein: )
Voici un autre problème concernant les variables complexes et qui plus est sur les transformations conformes.
J'aurai aimer avoir quelques indices sur certaines questions s'il vous plait et merciiiiiiii

Soient deux droite semi-infinies formant un angle de et un point
Pour un problème électrostatique on impose le potentiel électrique à zéro sur les deux droites semi-infinies.
Une source ponctuelle de densité linéique est placée en et donc l'équation électrostatique s"écrit:

Ici décrit la densité de charge électrique localisé au point .

1)
a) Montrer que la transformation transforme la région sectorielle entre les deux droites semi-infinie en demi-plan supérieur du plan w=u+iv.
Puis déterminer telle que (point correspondant de )
b) Trouver une transformation ramenant le demi-plan w supérieur en demi-plan gauche avec le point correspondant à
c) Montrer que la transformation homographique

transforme l'axe imaginaire du plan en un cercle de rayon 1 sur le plan Z en s'appuyant sur l'équation de ce cercle. (On note )

2)
a)Montrer que vérifie l'équation de Laplace (on exclu le centre du plan Z), puis vérifier que le centre du plan Z correspond à on le note .
b) Montrer que l'équation de Laplace n'est plus vérifiée sur le point
3)Pour un problème gouverné par l'équation de poisson, l'invariance de l'intensité de la source après transformation conforme s'exprime par la relation:

où est une surface incluant le point et est une surface incluant le point .
De plus pour une source ponctuelle si z différent de de même que pour si Z différent de
L'intensité de la source est alors donnée par :


Compléter les résultats du 2 en déterminant le coefficient K.




_____________________________________________________________

Ce que j'ai fait ou crois comprendre :zen:
1) a)
Soit z appartenant à la région sectorielle et z s'écrira alors :
avec
avec et là il est évident qu'on est sur le demiplan supérieur
Ensuite on cherche


b) Je pense que la on devrait faire une rotation d'angle et que
donc
et la transformation est


c) je bloque >_< '


2)
a) ici on vérifie l'équation de Laplace
mais je sais pas si c'est ou
b) plouf plouf

3) c'est la noyade pour moi

[sky-mars]

:cry: :cry: :cry:
personne ?

[sky-mars]

ohé ohé capitaineeee heu non plutot ce sujet est abandonné :cry:

[sky-mars]

j'ai réussi à débloquer la c)
en effet on demande que l'axe imaginaire est transformé en un cercle de rayon 1.
Soit alors

Or il existe
alors

Posons et AQT pour l'équation du cercle

[sky-mars]

j'ai aussi débloquer la 2a)

en effet





et donc
AQT !

[Nightmare]

Salut :happy3:

Pour la b) il me semble qu'il suffit de montrer que le Laplacien n'est pas nul en z0 non?

[sky-mars]

des idées pour la question 3 ?

[sky-mars]

Bonjour :)
Personne n'est chaud en ce mois de septembre pour ma question 3 s'il vous plait ??