Etude des courbes paramétrées

[Georges10]

Bonjour à tous

Svp les amis, je ne comprend pas comment l'on restreint l'intervalle de définition d'une courbe paramétrée.
Par exemple, quand on a x(t)=3cost et y(t)=sint
Est ce que le fait que sint et cos t soient toutes deux périodiques de période 2π peut nous aider ?

Merci d'avance

[hdci]

Les deux applications paramètres sont de périodicité . Donc pour on obtient exactement le même point :

La restriction de l'intervalle d'étude (et pas de définition), est utilisée pour simplifier l'étude car au-delà de cet intervalle le comportement de la courbe se déduit du comportement sur cet intervalle.

J'insiste sur "et pas de définition" : par exemple, si on cherche à calculer la longueur du chemin parcouru sur cette courbe entre 0 et t, cette longueur n'est pas du tout périodique

[Georges10]

Ok mais quelle incidence pourrait avoir le fait que (x(t), y(t))=(x(t+2π), y(t+2π)) peut il avoir sur l'intervalle de définition ?

[hdci]

Je ne comprends pas la question. "Intervalle de définition" n'est pas une notion standard : on parle de "domaine de définition" pour exprimer le plus grand sous-ensemble sur lequel la fonction est une application (tout élément admet une image).

Ici, la fonction est : définie par , le domaine de définition est donc puisque tout réel admet bien une image.
Le fait que la fonction soit périodique n'y change rien.

Par contre pour étudier une fonction périodique de période , il suffit de l'étudier sur un intervalle dont la longueur est une période : comme pour tout x, ce qui se passe sur est semblable à ce qui se passe sur , et semblable à ce qui se passe sur : continuité, dérivabilité, sens de variation, signe...

Or , c'est même une partition, on a donc couvert l'ensemble du domaine de définition, il y a juste à s'assurer de ce qui se passe aux points de jonctions : donc en (continuité à gauche, dérivabilité à gauche...)

Le choix de dépend du contexte ; par exemple, s'il y a des symétries par rapport à l'origine, on prendra l'intervalle , mais ce n'est pas une obligation.

[Georges10]

Ok merci beaucoup