Etude de la bijectivité d'une fonction

[Orph123]

bonjour tout le monde, je suis en première année en prépa et je voudrais votre aide pour résoudre la proposition suivante:
******* on a : pour tout x de R, f o f - 2f = Ide*********************
*******comment puis-je montrer que f o ( f - 2 Ide ) = Ide ?*******
merci

[Orph123]

svp j'ai besoin de votre aide !!!!!

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

N'aurais-tu pas oublié de préciser que f est linéaire ? Une application linéaire de quoi dans quoi ?

[Orph123]

oui, f est une application de R dans R

[GaBuZoMeu]

Une application LINÉAIRE ?.

[Orph123]

non parce qu'on l'a pas mentionné dans l'énoncé
(et je voulais seulement m'assurer , une application linéaire est comme la suivante? f(x+y) = f(x) + f(y) et f(ax) = af(x)) et merci

[hdci]

Bonjour,

Avec , on a

Donc




Si je note , cela fait



Dans ce qui précède je n'ai pas mis de quantificateurs. Notamment sur la dernière ligne avec "y".

Pour pouvoir écrire "quel que soit y dans R", il faudrait donc s'assurer que f est surjective (ce qui en fera une bijection, au passage, vu qu'elle sera inversible).

N'y a-t-il pas de condition de surjectivité sur f ? Ou bien peut-on prouver la surjectivité de f ?

[Orph123]

En fait ici j'ai posé seulement la partie de ma solution ou j'ai trouvé un problème.
voici l'énoncé complet de l'exercice:
********Soit f une application de R vers R. avec pour tout x de R on a : fof(x) -2f(x) = x****************
********Montrer que f est bijective et déterminer sa fonction réciproque**********

]@@@@@@@@@@@@@MON RAISONNEMENT:
donc j'ai voulu appliquer la méthode que si je trouve une application g de R dans R avec gof = IdR et fog = IdR
alors f est bijective et la fct réciproque de f est g. j'ai trouvé une fct: g(x) = f(x) - 2x avec gof = IdR mais je n'arrivais pas à démontrer que fog = fo(f - 2IdR) = IdR
Mais mtn en lisant votre réponse ca m'a aidé
en fait on f(fof(x) - 2f(x)) = f(x)
on pose y=f(x) ∈ R donc fog(y) = y = IdR
et c'est fait!!! merciii!!!!

[GaBuZoMeu]

en fait on f(fof(x) - 2f(x)) = f(x)
on pose y=f(x) ∈ R donc fog(y) = y = IdR
et c'est fait!!! merciii!!!!

Tu aurais dû mieux lire la réponse de hdci.
Tout d'abord, y = IdR ne veut rien dire.
Ensuite, ce que tu montres, c'est que pour tout y dans l'image de f, f(g(y))=y. Mais ça ne suffit pas pour montrer que pour tout réel x, f(g(x))=x. Pour cela, il faudrait que l'image de f soit égale à R tout entier, c.-à-d. que f soit surjective. C'est ce que t'écrivait hdci, mais tu ne l'as pas lu en entier, ou pas bien compris.

[Orph123]

Aaaaah je m'excuse j'ai pas fait attentionparce que j'ai cru que c résolu, donc que suggérez-vous comme moyen pour prouver que fo(f - 2IdR) = (f - 2IdR)of = IdR ?