Bijectivité d'une application de C dans C

[patcojustan]

Bonjour,
je dois démontrer la bijectivité de l'application F suivante : de E dans E, qui à une suite (xk) associe la suite (yk) telle que y_k=1/(k+1)Somme(j=0 à k, x_j)
Je précise que E est l'ensemble des suites bornées de nombres complexes, et que F est linéaire.
Je crois que pour la surjectivité , c'est bon.
Mais l'injectivité me pose pb : je suis partie de F(x_k)=0 ; je n'arrive pas à prouver que x_k =0, à cause de la somme.
Merci de votre aide.

[girdav]

Si la suite est identiquement nulle, alors la suite l'est aussi, et donc la différence de deux termes consécutifs aussi.

[patcojustan]

Merci de ta réponse !
j'avais trouvé la réponse (si simple !) entre temps, et je bute de nouveau sur le même genre de question :
si est un nombre complexe , qui n'est pas de la forme
montrer que l'application est bijective.

PS : comment tape-t-on correctement la lettre grecque lambda ?

Merci .

[girdav]

Pour l'injectivité on peut faire ça par récurrence, et pour la surjectivité on peut expliciter l'antécédent.

Pour faire un beau , il faut mettre un anti-slasch devant.

[patcojustan]

Merci encore pour ta réponse.
Pour la surjectivité, c'est ok.
Pour l'injectivité, je bloque encore. Sur tes conseils, je suis partie sur une récurrence, mais je ne suis pas sure de l'avoir bien construite :
Pour k entier, l'assertion " entraine "
ok
On suppose vraie. Il s'agit de prouver
On démarre de
soit (j allant de 0 à k+1) (je ne sais pas bien taper le sigma non plus .... :fan:
je ne vois pas trop comment j'arrive à ...?
Merci encore pour le coup de main.

[girdav]

Il faut utiliser une sorte de récurrence forte : on suppose que est la suite nulle. Donc, étant différent de , le premier terme est nul; et si on suppose que les premiers termes de sont nuls, il faut montrer que le terme d'indice est nul.