Estimation paramètres uniforme

[plikskin]

Bonjour !

Je dois estimer les paramètres a et b de la loi uniforme suivante : [2*a*b; a^2+b^2] sachant 0 < a < b. Je dois le faire par la méthode des moments et par la méthode du maximum de vraisemblance.

Pour la méthode des moments j'ai utilisé la variance et la moyenne, est-ce possible ou ne doit-on utiliser que des moments non-centrés ?

Pour la méthode du maximum de vraisemblance j'ai plus de peine. J'ai ma fonction de vraisemblance L = (b-a)^(-2n) à maximiser sous contrainte 2*a*b <= Xi <= a^2+b^2 pour tout i. Donc j'ai fixé Xmin = 2*a*b et Xmax = a^2 + b^2. Mais du coup je me retrouve avec une équation du 3ème degré que je ne sais pas comment résoudre, et surtout je pouvais déduire cet estimateur intuitivement sans la fonction de vraisemblance du coup je me demande si ma méthode est bien la bonne.

Merci d'avance pour votre aide ! :)

[DamX]

Bonjour !

Je dois estimer les paramètres a et b de la loi uniforme suivante : [2*a*b; a^2+b^2] sachant 0 < a < b. Je dois le faire par la méthode des moments et par la méthode du maximum de vraisemblance.

Pour la méthode des moments j'ai utilisé la variance et la moyenne, est-ce possible ou ne doit-on utiliser que des moments non-centrés ?

Pour la méthode du maximum de vraisemblance j'ai plus de peine. J'ai ma fonction de vraisemblance L = (b-a)^(-2n) à maximiser sous contrainte 2*a*b <= Xi <= a^2+b^2 pour tout i. Donc j'ai fixé Xmin = 2*a*b et Xmax = a^2 + b^2. Mais du coup je me retrouve avec une équation du 3ème degré que je ne sais pas comment résoudre, et surtout je pouvais déduire cet estimateur intuitivement sans la fonction de vraisemblance du coup je me demande si ma méthode est bien la bonne.

Merci d'avance pour votre aide !

Hello

La moyenne et la variance c'est très bien. Centrés ou non c'est tout a fait valable. Si la loi suit vraiment une des lois de ta famille ça ne doit rien changer, ton estimateur aura les mêmes propriétés (là je dis ça intuitivement, je n'ai pas réfléchi ultra précisément).

Pour le maximum de vraisemblance c'est bon aussi mais je ne vois pas en quoi tu aurais une équation de degré 3.

Si tu regardes bien, tu as en fait Xmin+Xmax=(a+b)^2 et Xmax-Xmin=(b-a)^2. Tu recuperes direct a+b et a-b puis a et b.

Damien

[plikskin]

Ok super merci Damien, j'ai bossé trop longtemps sur ma série, je n'ai même pas vu ça. ^^ Sinon une question débile qui me vient en tête : l'espérance d'une fonction de densité est 0.5 dans tous les cas ?

[DamX]

Ok super merci Damien, j'ai bossé trop longtemps sur ma série, je n'ai même pas vu ça. ^^ Sinon une question débile qui me vient en tête : l'espérance d'une fonction de densité est 0.5 dans tous les cas ?

J'avoue ne pas comprendre la question Qu'entends tu par "l'espérance dune fonction de densité est 0.5" ?

[plikskin]

J'avoue ne pas comprendre la question Qu'entends tu par "l'espérance dune fonction de densité est 0.5" ?

En effectuant une estimation par MV (pour un paramètre de densité logistique cette fois-ci) je dois calculer l'info de Fischer qui est "moins l'espérance de la dérivée seconde de la fct de log-vraisemblance par rapport au paramètre". Mais la dérivée seconde de la fct de log-vraisemblance par rapport au paramètre est égal à la fonction de densité (fois 2n) ! Du coup puis-je dire que l'espérance de la fonction de densité = 0.5 et du coup l'info de Fischer est égal à n ?

[plikskin]

En effectuant une estimation par MV (pour un paramètre de densité logistique cette fois-ci) je dois calculer l'info de Fischer qui est "moins l'espérance de la dérivée seconde de la fct de log-vraisemblance par rapport au paramètre". Mais la dérivée seconde de la fct de log-vraisemblance par rapport au paramètre est égal à la fonction de densité (fois 2n) ! Du coup puis-je dire que l'espérance de la fonction de densité = 0.5 et du coup l'info de Fischer est égal à n ?

Je me demande s'il ne faut pas que je calcule l'intégrale de la densité au carré pour trouver l'espérance. Mais est-ce qu'une densité logistique suit une loi logistique elle-aussi ? Je suis un peu perdu.

[DamX]

Je me demande s'il ne faut pas que je calcule l'intégrale de la densité au carré pour trouver l'espérance. Mais est-ce qu'une densité logistique suit une loi logistique elle-aussi ? Je suis un peu perdu.

Désolé pour le délai de réponse.

Je t'avoue toujours ne pas être sur de ce que tu recherches là. Ne peux-tu pas écrire quelques équations (en latex) si possible des questions que tu te poses et des lois utilisées ?

[plikskin]

Désolé pour le délai de réponse.

Je t'avoue toujours ne pas être sur de ce que tu recherches là. Ne peux-tu pas écrire quelques équations (en latex) si possible des questions que tu te poses et des lois utilisées ?

Désolé c'est vrai que je n'ai pas été très clair. Comme je ne sais pas utiliser latex je vais t'expliquer en mot ce que je fais. On me donne la densité logistique de paramètre thêta, l'espérance de X égale à thêta, la variance de X égale à (pi^2)/3 et on me donne un estimateur de thêta égal à la moyenne de l'échantillon Xbarre. Je dois montrer que ce n'est pas le meilleur estimateur non-biaisé de thêta. J'ai donc tenté de calculer la borne FDCR en dérivant deux fois la fonction de log-vraisemblance et en prenant la négative de l'espérance pour trouver l'info de Fischer. La dérivée seconde de la log-vraisemblance est égale à -2*n*f(x;thêta) où f(x;thêta) est la formule de la densité logistique. Par contre je bloque sur l'espérance de f(x;thêta) d'où mes questions précédentes.

Voilà, j'espère que tu comprends, je suis désolé je sais que c'est un peu abstrait de le dire comme ça.

f(x;thêta) = e^(-x+thêta)/(1+e^(-x+thêta))^2