Estimation du nombre de décimales d’une factorielle

[JeanClaude67]

Bonjour à toutes et à tous,

Je me suis posé une question :
Il est vraisemblablement quelquefois possible d’estimer le nombre de décimales d’un réel très grand (e.g. en calculant le logarithme décimal).
Puis-je maintenant estimer le nombre de décimales de ?

• Puis-je approcher une factorielle par une puissance, de manière à ce que calculer le logarithme décimal de l’expression se simplifie ? Par exemple avec la fonction gamma, même si elle n’a pas une tête assez sympa ?

• Puis-je encadrer une factorielle avec deux expressions sous la forme de produit ou de puissances ?

Merci de votre aide ! (Je n’ai pas d’échéance.)

Toute aide, suggestion d’idée, même partielle, est la bienvenue !

[samoufar]

Bonjour,

En ce qui concerne la factorielle, on dispose d'un équivalent (dit de Stirling) : , qui donne une approximation de la factorielle.

Ça doit certainement aussi donner le bon nombre de décimales (pour des valeurs de n suffisamment grandes) vu que les factorielles ne sont jamais trop proches d'un nombre de la forme 999... ou 100...

[Ben314]

... vu que les factorielles ne sont jamais trop proches d'un nombre de la forme 999... ou 100...

Tu peut détailler la preuve de ce fait s.t.p.

[nodgim]

Je savais que le 1er chiffre des puissances d'un entier suivait la loi de Benfort, mais je doute pour la factorielle.

[JeanClaude67]

Bonjour,

En ce qui concerne la factorielle, on dispose d'un équivalent (dit de Stirling) : , qui donne une approximation de la factorielle.

Ça doit certainement aussi donner le bon nombre de décimales (pour des valeurs de n suffisamment grandes) vu que les factorielles ne sont jamais trop proches d'un nombre de la forme 999... ou 100...

Merci beaucoup de ta réponse samoufar ! …

Donc, grâce à l’équivalent de Stirling, on peut donc dire que l’ordre de grandeur du nombre de décimales de notre factorielle est certainement l’ordre de grandeur de

Donc possède environ vingt millions de milliards de décimales…
Je trouve ça un peu moindre… Mais bon, je me tais pour laisser la parole aux maths. Merci samoufar !

... vu que les factorielles ne sont jamais trop proches d'un nombre de la forme 999... ou 100...

Tu peut détailler la preuve de ce fait s.t.p.

Chose que j’ai oublié de préciser, j’avais uniquement besoin d’un ordre de grandeur du nombre de décimales, donc pas grave si ce n’est pas le bon nombre de décimales à l’unité près. Mais c’est effectivement une chose que l’on pourrait chercher à montrer.

[Ben314]

Vu la taille de ton nombre, je pense qu'on peut montrer sans trop de problème que le nombre de décimale est correct à une unité prés vu que, même si n! commençait par du 999999... ou du 100000... donc était très proche d'une puissance de 10, ça provoquerais au pire une erreur d'une unité sur le nombre de décimale si par malchance l'approximation correspondante est "de l'autre coté" de la puissance de 10 en question.

Par contre, j'ai des doutes concernant le fait qu'on arrive à montrer qu'une factorielle ne commence jamais par du 9999... ou par 1000... (encore qu'il faudrait préciser ce que l'on entend par là, c'est à dire préciser le nombre de 9 ou de 0)

[samoufar]

Bonsoir,

Je n'insinuais pas des nombres qui commencent par 9999... ou 1000... mais des nombres de la forme 9999... ou 100000... (ex : 99999999999 ou 10000000000). Et puis de toutes façons, entre et , je doute que le nombre de décimales change, donc ça n'a pas vraiment de sens de considérer les nombres qui commencent par 9999... ou 1000...

Sinon, pour montrer que la première forme est impossible à obtenir, il suffit de remarquer que n! est pair pour n>=2 et pour la deuxième que (par exemple) 3 divise n! pour n>=3. Ainsi pour de grandes valeurs de n, il y a de grandes chances pour ne pas se tromper sur le nombre de décimales (bon, l'idéal aurait été d'estimer le reste).

L'idée est qu'ainsi la factorielle est à une distance d'au moins 1 des nombres de cette forme, et à partir d'un certain n la distance entre n! et son équivalent est plus petite que 1, donc il est impossible d'avoir quelque chose comme (bon c'est exagéré, mais c'est pour l'exemple) : n! = 9999998 et équivalent = 10000000. Ainsi pour des valeurs de n assez grandes (à préciser pour plus de rigueur), il n'y a plus d'erreur sur le nombre de décimales.

[Ben314]

Vu sous cet angle, à savoir qu'une factorielle n'est jamais exactement égale ni à 9999...9999, ni a 1000...000, je suis parfaitement d'accord, mais tu reconnaitra tout de même que, formulé de cette façon là :

...vu que les factorielles ne sont jamais trop proches d'un nombre de la forme 999... ou 100...

ça donnait pas tout à fait vraiment franchement l'impression que c'est de ça que tu causait, non ?

Et d'un autre coté vu la définition mathématique de ce qu'est un équivalent de savoir qu'une factorielle n'est jamais exactement égale ni à 999...999, ni a 1000...000, c'est sans le moindre intérêt et ça n'est même pas le début du premier pas pour montrer que l'équivalent obtenu à l'aide de la formule de Stirling donne bien le bon nombre de décimales.

Par exemple si Un désigne l'entier formé de n² fois le chiffre 9 suivi de n fois le chiffre 0 et que Vn est l'entier formé du chiffre 1 suivi ne n² fois le chiffre 0 suivi de n fois le chiffre 9, alors les suites Un et Vn sont bien équivalentes, elle n'ont JAMAIS le même nombre de chiffre alors que l'écart qu'il y a entre Un et la puissance de 10 la plus proche tend vers +oo (ainsi que l'écart entre Vn et la puissance de 10 la plus proche).

Bref, ça sert absolument à rien de juste regarder si n! est différent de 999...999 et de 1000....000
C'est à se demander si tu as compris ce que ça signifiait pour deux suites le fait "d'être équivalentes"...

EDIT : Effectivement, j'avais pas entièrement lu ta prose jusqu'au bout et ce passage là :

...et à partir d'un certain n la distance entre n! et son équivalent est plus petite que 1...

confirme bien que tu n'as strictement rien compris à ce que signifiait l'équivalence de deux suites.

Donc, pour pas que tu meure idiot, je te signale que, (par définition), on dit que deux suites Un et Vn sont équivalentes lorsque le rapport Un/Vn tend vers 1.
Par exemple les suites Un=10^n+9^n et Vn=10^n sont des suites équivalentes (Un/Vn=1+(9/10)^n tend bien vers 1) alors que la "distance entre les deux", à savoir 9^n n'est pas vraiment "plus petite que 1 à partir d'un certain rang"...

[samoufar]

Désolé si l'écriture 9999... et 1000... était ambiguë.

Au temps pour moi, en ce qui concerne l'équivalence, ce n'est bien sur pas une question de différence qui tend vers 0 mais une question de différence négligeable devant l'équivalent (contre-exemple plus simple, n et n+2 pour lesquels la distance est toujours >1, tout dépend de la valeur du reste, qui, dans ma "prose", devait être en o(1) pour que ça soit vrai).

Toutefois je connais bien mes définitions, et ça arrive à tout le monde d'écrire/dire des bêtises parfois. Après tout, l'erreur est humaine, non ?

...je te signale que, (par définition), on dit que deux suites Un et Vn sont équivalentes lorsque le rapport Un/Vn tend vers 1...

Ceci sous réserve de non nullité de Vn (sinon, considérer (Un) et (Vn) la suite nulle et.. la suite nulle, ou bien pour un exemple plus étoffé deux suites égales qui s'annulent une fois sur deux).


Sinon l'idée serait peut-être de regarder le logarithme du rapport, qui tend vers 0, ce qui devrait montrer que la différence du nombre de décimales de n! et de son équivalent de Stirling ne dépasse pas 1 pour n suffisamment grand...