Représentation des décimales d'un irrationnel ?

[anthony_unac]

Bonjour,

Existe t il aujourd'hui une fonction spécifique permettant de représenter les décimales d'un nombre irrationnel ?
Est ce qu'il y a des gens qui ont essayé de travailler la dessus ?
Je ne parle pas de construire un irrationnel à la règle et au compas, mais de définir une fonction associée aux décimales d'un irrationnel.
Je pensais notamment à une fonction f discontinue du type f(1)=1ere décimale ; f(2)=2e décimale sauf si la 2e décimale est la même que la première en quelle cas on prend l'entier formé par la 2e décimale et la 3e décimale etc...
Exemple avec pi :
----------------------
f(1) = 1
f(2) = 4
f(3) = 15
f(4) = 9
f(5) = 2
f(6) = 6
f(7) = 5
f(8) = 3
f(9) = 59
etc ...

[bolza]

Bonjour,

Je ne suis pas bien sûr de comprendre :
pourquoi veux-tu que la fonction retourne des valeurs toutes différentes ?

Avoir une fonction f qui a un entier n et un réel r retourne la n-ième décimale de r c'est facile :
Il suffit de prendre :

f(r,n)=E(r*10^n) mod 10 (où E est la fonction partie entière) .

par exemple f(pi,2) = E(pi*100) mod 10 = 314 mod 10 = 4.

Maintenant, si tu veux que la fonction soit en plus injective ça devient un beaucoup plus difficile,
car cela demande de garder en mémoire les valeurs précédentes de la fonction

[anthony_unac]

Bonjour Bolza,

C'est assez difficile de définir proprement la fonction à laquelle je pense.
Je pensais que mon petit exemple avec pi aurait fixé les idées !?
Puis je clarifier certains points ?
A titre d'exemple atypique les décimales du nombre de Champernowne donnerait :
f(1)=1
f(2)=2
f(3)=3
f(4)=4
f(5)=5
f(6)=6
f(7)=7
f(8)=8
f(9)=9
f(10)=10 car 1 à déjà été "utilisé" par f(1)
f(11)=11
f(12)=12
etc...
Si bien qu'à la fin, cette fonction est assimilable à la fonction f : x ->x

Les nombres du type :
0, 9999999999999999999999...... (répétition de la même décimale)
deviendraient assimilables à la fonction u : n -> (10^n)-(1)

[anthony_unac]

Concernant les nombres admettant un développement décimal illimité de la forme :
0, ddddddddddddddddddddddd.... (on répète toujours la même décimale "d" comprise entre 1 et 9)
Sa représentation graphique peut alors être générée par la suite :
u_0 = 0
u_(n+1) = u_n+d*10^(n)
d'ou
u(n) = 1/9 *d* ((10^n)-1)

[bolza]

Cela me semble assez difficile :

Encore une fois en oubliant le fait que f doit donner des valeurs différentes,
rien que pour le nombre pi, trouver une formule qui donne le n-ième chiffre sans avoir à calculer les précédents
a été assez compliqué. Tu peux chercher si tu veux "formule BBP" ou "Simon Plouffe" sur internet pour avoir plus d'informations (d'ailleur la formule BBP fonctionne en base 2 ou 16, mais pour la base 10 ça a l'air d'être une toute autre histoire bien plus compliqué )

Et cela c'est seulement pour le gentil nombre pi pour lequel on connaît des myriades de formules pour le calculé. Alors pour un nombre quelconque, et avec la condition supplémentaire que f ne peut pas donner deux fois la même valeur, cela me semble vraiment très très difficile ^^'.

Non que je veuille te décourager évidemment , mais ça ne va pas être facile ^^'

[bolza]

Non que je veuille te décourager évidemment , mais ça ne va pas être facile ^^'

En fait tu ne pourra pas le faire de manière générale pour tous les réels.
Si tu arrives a associé un réel r à une tel fonction f cela signifie clairement que le réel r est calculable.
Or l'ensemble des réels calculables est dénombrable, donc en particulier, il y a une infinité non dénombrable
de réels non calculables pour lesquels il est impossible de trouver une telle foncion

[anthony_unac]

Un grand merci pour toutes ces informations, cela permet de se recentrer.