Espaces vectoriels normés

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

Espaces vectoriels normés

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 17:23

Bonjour,voila je ne déborde pas d'idée sur cet exercice:
On considère un evn E et une suite de E (u(n)) telle que pour tout p entier naturel : lim(u(n+p)-u(n))=0.La suite (u(n)) est-elle de Cauchy?
merci....



kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 17:28

u_n= ln(n) ?!

aviateurpilot
Membre Irrationnel
Messages: 1772
Enregistré le: 01 Juin 2006, 23:33

par aviateurpilot » 08 Juin 2007, 17:36

tu veux dire non?

si oui, et si est env (car je ne sais pas c'est quoi env) je pense que ce que kazeriahm dit est une solution
c'est un contre exemple pour

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 18:03

oui c'est bien ca et evn=espace vectoriel normé.....

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 18:04

aviateur un evn est un espace vectoriel normé, c'est a dire un ev E sur lequel est défini une application N à valeurs dans R+ verifiant
N(x)=0 ssi x=0
pour tout scalaire t et pour tout vecteur x de E, N(t*x)=|t|*N(x)
N(x+y)=
la valeur absolue est une norme sur R

et dans un evn, on dit qu'une suite u_n tend vers 0 si N(u_n) (ou||u_n||) tend vers 0, donc ce qu'a dit mehdi est valable

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 18:07

Par contre j'ai pas compris: u_n= ln(n) ?!

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 18:11

bien soit p un entier naturel, quelle est la limite quand n tend vers l'infini de u_(n+p)-u_n ?

la suite u_n est elle pour autant de Cauchy?

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 18:15

lim(u(n+p)-u(n))=0 si u(n)=ln(n)

Or toute suite de Cauchy converge mais u(n) diverge donc elle n'est pas de Cauchy.C'est ca?

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 18:17

c'est ca :we:

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 18:51

merci beaucoup:bien vu ce contre exemple :)

aviateurpilot
Membre Irrationnel
Messages: 1772
Enregistré le: 01 Juin 2006, 23:33

par aviateurpilot » 08 Juin 2007, 19:04

quand j'ai vu ton exo, j'ai pas pu toruver un contre exemple
mais au moins j'ai fait ce resonnement ci-desous qui n'est pas parfait just pour dire que la reponse de ton exo et (non) lol
meme tu va voir que c'est un raisonsment long, mais c'est pas vraiment long car je l'ai pas fait sur une feuille lol.

supposons que est une suite de cauchez
donc
soit
donc
donc bornée ce qui n'est pas toujours vrai puisque il depend de p.


bravo kazeriahm pour le contre exemple :++:

aviateurpilot
Membre Irrationnel
Messages: 1772
Enregistré le: 01 Juin 2006, 23:33

par aviateurpilot » 08 Juin 2007, 19:16

si on a pas pu trouver un contre-exemple voila une solution.
supposons que est une suite de cauchez
donc bornée ce qui n'est pas toujours vrai sauf si est stationnaire .

bravo kazeriahm pour le contre exemple :++:

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 19:27

J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?
Je sais seulement que toute suite convergente est de Cauchy.

aviateurpilot
Membre Irrationnel
Messages: 1772
Enregistré le: 01 Juin 2006, 23:33

par aviateurpilot » 08 Juin 2007, 19:31

mehdi-128 a écrit:J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?

pas forcement,
car je pense que vous avez vu un eleve de math spé m'a dit il y a 2jours qu'un espace complete c'est un espace ou toutes les suites de Cauchy converge.
alors ils exsitent des espace ou les suites de Cauchy pouvent diverger.

mehdi-128
Membre Complexe
Messages: 2838
Enregistré le: 10 Déc 2006, 15:57

par mehdi-128 » 08 Juin 2007, 19:51

ah ok merci....

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 20:45

oui on peut trouver des suites de Cauchy divergentes dans des espaces qui ne sont pas complets comme l'a dit aviateurpilot

cependant les evn qui ne sont pas complets sont nécessairement de dimension infinie (car tout evn de dim finie est complet) et on se les représente moins bien : les contres exemples classiques quand a des suites de Cauchy qui seraient divergentes se font dans les espaces de fonctions, dans R[X],etc... mais je saurais pas t'en donner un la

nico2b
Membre Relatif
Messages: 271
Enregistré le: 16 Jan 2007, 19:33

par nico2b » 08 Juin 2007, 21:17

Pour un exemple on nous avais donner au cour la suite définie par

On supose que converge vers le réel a, on a donc a = a/2 + 1/a càd a = +/-

Donc si a existe, a vaut car la suite est minoré par 0 et n'appartient pas à donc la suite ne converge pas dans mais dans oui

kazeriahm
Membre Irrationnel
Messages: 1608
Enregistré le: 04 Juin 2006, 11:49

par kazeriahm » 08 Juin 2007, 21:23

suis-je bete oui bien sur, enfin il faut montrer que ta suite (x_n) est de Cauchy (ou encore etre sur qu'elle converge)...

on sait que les rationnels sont denses dans R donc on prend une suite (x_n) de rationnels convergeant vers racine(2), (x_n) est de Cauchy car convergente mais ne converge pas dans Q qui n'et donc pas compelt

pixie014
Messages: 1
Enregistré le: 08 Juin 2007, 12:00

par pixie014 » 08 Juin 2007, 21:34

Pour qu'une suite de cauchy CV dans E, il faut que l'espace E soit complet (espace de Banach comme R ou C)

aviateurpilot
Membre Irrationnel
Messages: 1772
Enregistré le: 01 Juin 2006, 23:33

par aviateurpilot » 08 Juin 2007, 21:53

pixie014 a écrit:Pour qu'une suite de cauchy CV dans E, il faut que l'espace E soit complet (espace de Banach comme R ou C)

oui on a deja dit ça,

aviateurpilot a écrit:
mehdi-128 a écrit:J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?

pas forcement,
car je pense que vous avez vu un eleve de math spé m'a dit il y a 2jours qu'un espace complete c'est un espace ou toutes les suites de Cauchy converge.
alors ils exsitent des espace ou les suites de Cauchy pouvent diverger.

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 21 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite