Espaces vectoriels normés

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 17:23

Bonjour,voila je ne déborde pas d'idée sur cet exercice:
On considère un evn E et une suite de E (u(n)) telle que pour tout p entier naturel : lim(u(n+p)-u(n))=0.La suite (u(n)) est-elle de Cauchy?
merci....

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 17:28

u_n= ln(n) ?!

par **aviateurpilot** » 08 Juin 2007, 17:36

tu veux dire

non?

si oui, et si

est env (car je ne sais pas c'est quoi env) je pense que ce que kazeriahm dit est une solution
c'est un contre exemple pour

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 18:03

oui c'est bien ca et evn=espace vectoriel normé.....

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 18:04

aviateur un evn est un espace vectoriel normé, c'est a dire un ev E sur lequel est défini une application N à valeurs dans R+ verifiant
N(x)=0 ssi x=0
pour tout scalaire t et pour tout vecteur x de E, N(t*x)=|t|*N(x)
N(x+y)=
la valeur absolue est une norme sur R

et dans un evn, on dit qu'une suite u_n tend vers 0 si N(u_n) (ou||u_n||) tend vers 0, donc ce qu'a dit mehdi est valable

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 18:07

Par contre j'ai pas compris: u_n= ln(n) ?!

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 18:11

bien soit p un entier naturel, quelle est la limite quand n tend vers l'infini de u_(n+p)-u_n ?

la suite u_n est elle pour autant de Cauchy?

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 18:15

lim(u(n+p)-u(n))=0 si u(n)=ln(n)

Or toute suite de Cauchy converge mais u(n) diverge donc elle n'est pas de Cauchy.C'est ca?

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 18:17

c'est ca :we:

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 18:51

merci beaucoup:bien vu ce contre exemple :)

par **aviateurpilot** » 08 Juin 2007, 19:04

quand j'ai vu ton exo, j'ai pas pu toruver un contre exemple
mais au moins j'ai fait ce resonnement ci-desous qui n'est pas parfait just pour dire que la reponse de ton exo et (non) lol
meme tu va voir que c'est un raisonsment long, mais c'est pas vraiment long car je l'ai pas fait sur une feuille lol.

supposons que est une suite de cauchez
donc
soit
donc
donc bornée ce qui n'est pas toujours vrai puisque il depend de p.

bravo kazeriahm pour le contre exemple :++:

par **aviateurpilot** » 08 Juin 2007, 19:16

si on a pas pu trouver un contre-exemple voila une solution.
supposons que

est une suite de cauchez
donc

bornée ce qui n'est pas toujours vrai sauf si

est stationnaire .

bravo kazeriahm pour le contre exemple :++:

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 19:27

J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?
Je sais seulement que toute suite convergente est de Cauchy.

par **aviateurpilot** » 08 Juin 2007, 19:31

mehdi-128 a écrit:J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?

pas forcement,
car je pense que vous avez vu un eleve de math spé m'a dit il y a 2jours qu'un espace complete c'est un espace ou toutes les suites de Cauchy converge.
alors ils exsitent des espace ou les suites de Cauchy pouvent diverger.

par **mehdi-128** » 08 Juin 2007, 19:51

ah ok merci....

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 20:45

oui on peut trouver des suites de Cauchy divergentes dans des espaces qui ne sont pas complets comme l'a dit aviateurpilot

cependant les evn qui ne sont pas complets sont nécessairement de dimension infinie (car tout evn de dim finie est complet) et on se les représente moins bien : les contres exemples classiques quand a des suites de Cauchy qui seraient divergentes se font dans les espaces de fonctions, dans R[X],etc... mais je saurais pas t'en donner un la

par **nico2b** » 08 Juin 2007, 21:17

Pour un exemple on nous avais donner au cour la suite

définie par

On supose que

converge vers le réel a, on a donc a = a/2 + 1/a càd a = +/-

Donc si a existe, a vaut

car la suite est minoré par 0 et

n'appartient pas à

donc la suite ne converge pas dans

mais dans

oui

par **kazeriahm** » 08 Juin 2007, 21:23

suis-je bete oui bien sur, enfin il faut montrer que ta suite (x_n) est de Cauchy (ou encore etre sur qu'elle converge)...

on sait que les rationnels sont denses dans R donc on prend une suite (x_n) de rationnels convergeant vers racine(2), (x_n) est de Cauchy car convergente mais ne converge pas dans Q qui n'et donc pas compelt

par **pixie014** » 08 Juin 2007, 21:34

Pour qu'une suite de cauchy CV dans E, il faut que l'espace E soit complet (espace de Banach comme R ou C)

par **aviateurpilot** » 08 Juin 2007, 21:53

pixie014 a écrit:Pour qu'une suite de cauchy CV dans E, il faut que l'espace E soit complet (espace de Banach comme R ou C)

oui on a deja dit ça,

aviateurpilot a écrit:
mehdi-128 a écrit:J'ai une question:est-ce qu'une suite divergente peut etre de Cauchy?

pas forcement,
car je pense que vous avez vu un eleve de math spé m'a dit il y a 2jours qu'un espace complete c'est un espace ou toutes les suites de Cauchy converge.
alors ils exsitent des espace ou les suites de Cauchy pouvent diverger.

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