Espaces de Hilbert - Projection orthogonale

[schelde]

Bonjour,

J'essaie de faire l'exercice suivant :

Soit H un espace de Hilbert et P un opérateur de H dans H tel que et soit .
On suppose de plus que .
Montrer que P est la projection orthogonale sur M.
Indication : Considérer où .

Le problème, c'est que, pour parler de projection orthogonale sur M, il faut que M soit un sous-espace vectoriel fermé. Or, autant le fait que ce soit un s.e.v. ça je suis d'accord, autant le fait que M soit fermé, je ne vois pas trop pourquoi...

D'ailleurs, à un moment donné, dans la correction, on utilise le fait que . Et là c'est pareil : si M est fermé, on a , mais autrement, il n'y a pas de raison d'avoir une telle décomposition...

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Certes, si tu pose alors c'est pas clair du tout que est fermé.
Sauf que tu as forcément déjà vu (en algèbre linéaire) que, en dimension absolument quelconque, on a
Et là, par contre, c'est clair que est fermé (en supposant que dans ta définition du terme "opérateur", il y ait effectivement la continuité et pas uniquement la linéarité).

Et si tu l'a pas vu, c'est non seulement une évidence graphiquement parlant, mais c'est aussi on ne peut plus facile à démontrer.

[schelde]

Ah oui, c'est vrai que dit comme ça, ça devient tout de suite évident
Effectivement j'ai dû le voir à un moment donné (en tout cas la preuve est immédiate), mais je n'y pensais plus...
Merci en tout cas !