bonsoir !
je suis de passage pour une petite question qui me tourne la tête !
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soit F un sous-espace de IR^4 représenté par A(x,y,z,t) = 0. ou A est une matrice. quelle est la relation entre A, et la matrice B qui représente l'espace orthogonale de F ?
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merci de votre lecture...
Espace orthogonal !
6 messages
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par Arnaud-29-31 » 08 Avr 2010, 20:19
Bonsoir, je comprends pas trop la question, c'est l'espace vectoriel que tu représente par une matrice ? :s
par fourize » 08 Avr 2010, 20:33
bon, pour faire plus claire:
on est dans IR^4.
F est un sous-espace vectoriel euclidien d'équations cartésiennes :
x + y = 0
{ x - t = 0 .
1) on me demande de donner une base de F (j'ai reussi)
2) donner un système d'équations cartésienne et une base orthonormé de F orthogonale.[et c'est là, que j'ai besoin d'aide]
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c'est plus claire maintenant ... ?
on est dans IR^4.
F est un sous-espace vectoriel euclidien d'équations cartésiennes :
x + y = 0
{ x - t = 0 .
1) on me demande de donner une base de F (j'ai reussi)
2) donner un système d'équations cartésienne et une base orthonormé de F orthogonale.[et c'est là, que j'ai besoin d'aide]
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c'est plus claire maintenant ... ?
* In God we trust, for all others bring data *
par Ben314 » 08 Avr 2010, 21:50
Pour répondre un peu au deux en même temps, on peut, à la rigueur dire que l'on représente un s.e.v. par une matrice :
Soit en considérant une matrice dont le s.e.v. est le noyau de l'endomorphisme associé (c'est ce que tu fait et que perso. j'appellerais plutôt des "équation cartésiennes" du s.e.v.)
Soit en considérant une matrice dont le s.e.v. est l'image de l'endomorphisme associé (c'est ce qu'on fait quand on cherche une base d'un s.e.v. Perso. j'appellerais plutôt ça des "équation paramétriques" du s.e.v.)
En résumé, je pense que le vocable de "représenter un s.e.v. par une matrice" est... mal choisi.
En ce qui concerne ta question, il y a des tas de méthodes.
1) Tu cherche tout les vecteurs (x,y,z,t) qui sont orthogonaux aux deux vecteurs de ta base de F : tu obtient immédiatement des équations cartésiennes de l'orthogonal de F.
2) Comme F est de dim 2, tu sait que son orthogonal est de dim 4-2=2 et tu cherche un peu au pif 2 vecteurs non colinéaires qui sont orthogonaux à ta base de F
3) Tu rajoute 2 vecteur un peu au pif à ta base de F pour faire une base de R^4 et tu utilise le procédé d'orthogonalisation de gramm-schmidt qui te donnera une base orthonormée de F et une base orthonormé de son orthogonal
4) Tu écrit les deux équations de F sous la forme =0 (produit scalaire) et les deux vecteurs constant que tu as sont... une base de l'orthogonal de F
Bon, on va dire que 4 méthodes, c'est pas mal, donc j'arrète...
P.S. Vu les questions que l'on te pose, je te conseillerais de comprendre les méthodes 1) et 4) et de vérifier...
Soit en considérant une matrice dont le s.e.v. est le noyau de l'endomorphisme associé (c'est ce que tu fait et que perso. j'appellerais plutôt des "équation cartésiennes" du s.e.v.)
Soit en considérant une matrice dont le s.e.v. est l'image de l'endomorphisme associé (c'est ce qu'on fait quand on cherche une base d'un s.e.v. Perso. j'appellerais plutôt ça des "équation paramétriques" du s.e.v.)
En résumé, je pense que le vocable de "représenter un s.e.v. par une matrice" est... mal choisi.
En ce qui concerne ta question, il y a des tas de méthodes.
1) Tu cherche tout les vecteurs (x,y,z,t) qui sont orthogonaux aux deux vecteurs de ta base de F : tu obtient immédiatement des équations cartésiennes de l'orthogonal de F.
2) Comme F est de dim 2, tu sait que son orthogonal est de dim 4-2=2 et tu cherche un peu au pif 2 vecteurs non colinéaires qui sont orthogonaux à ta base de F
3) Tu rajoute 2 vecteur un peu au pif à ta base de F pour faire une base de R^4 et tu utilise le procédé d'orthogonalisation de gramm-schmidt qui te donnera une base orthonormée de F et une base orthonormé de son orthogonal
4) Tu écrit les deux équations de F sous la forme =0 (produit scalaire) et les deux vecteurs constant que tu as sont... une base de l'orthogonal de F
Bon, on va dire que 4 méthodes, c'est pas mal, donc j'arrète...
P.S. Vu les questions que l'on te pose, je te conseillerais de comprendre les méthodes 1) et 4) et de vérifier...
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par Ben314 » 08 Avr 2010, 22:19
Ben... ça veut dire que tu est plus rigoureux que moi... :zen:Arnaud-29-31 a écrit:Même "à la rigueur", moi ça me fait tiquer ^^
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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