Espace mesuré

[Ncdk]

Bonjour,

Une proposition que j'ai du mal à prouver, c'est morcelé par endroit, je comprends pas certaines suppositions faites par le prof en fait.

L'énoncé :
Soit un espace mesuré et soit une suite d'éléments de .
1-

2- Si est croissante pour l'inclusion, alors .

3- Si est décroissante et s'il existe un tel que , alors

Du coup j'ai pas mal de problème pour commencer avec le 1-.
J'ai la preuve de cette proposition mais je ne comprends pas pourquoi le prof à posé telle ou telle chose, on a pas forcément eu d'explication et ça me tracasse :hum:

[Robot]

Que ne comprends-tu pas dans la preuve de ton prof ?

[Ncdk]

En fait, je pense pas avoir tout compris, du moins pour trouver ça tout seul, c'est assez compliqué je trouve

Il part directement en posant deux choses, en dessinant des ensembles j'ai trouvé ça extrêmement astucieux, mais savoir d'ou il le sort, ça me bloque

Il pose et avec .

Ensuite il a tout simplement constaté des choses dessus, du fait que , , ce que je trouve évident du coup.
Ensuite, , si et aussi que

Ces choses-là sont évidentes quand on fait un dessin complétement aléatoire avec des patatoïdes pour voir à quoi ça pouvait ressembler, mais comment avoir cette idée de génie ? :ptdr:

Après le reste de la preuve du 1- en découle assez rapidement.

[lionel52]

C'est pas si astucieux c'est même logique!
Tu as besoin d'ensembles disjoints pour appliquer la formule de la définition
Tu prends A1, pour avoir un ensemble disjoint tu prends pas A2 mais tu prends tout ce qui est dans A2 mais pas dans A1, ensuite tu prends tout ce qui est dans A3 mais pas dans A1 et A2 etc...

[zygomatique]

salut

ce n'est pas une question d'avoir des ensembles disjoints mais le fait que

puis par récurrence si on veut ...

[Robot]

Bien sûr que si, c'est la question d'avoir des ensembles disjoints ! La définition de mesure dit que la mesure d'une réunion dénombrable d'ensembles disjoints est la somme des mesures.

[zygomatique]

la propriété (P) est vraie pour tout ensemble A et B (avec égalité si A et B sont disjoints

donc

supposons que

alors d'après la propriété (P)

et l'hypothèse de récurrence permet de conclure


l'initialisation est simplement la propriété (P)

puis on passe à la limite ...



et je pense que dans le post de Nckd il manque le \ pour dire "inter le contraire de" .... (et c'est pourquoi je ne comprenais pas pourquoi vous parliez d'une union disjointe qui est une autre méthode effectivement)


ce me semble-t-il

:lol3:

[Ncdk]

Ah oui en effet, j'ai fait cette erreur en me relisant, c'est bon j'ai pu rectifier.

Pour le 2-, en fait je peux très bien me servir des introduit au 1- non ?

[zygomatique]

que signifie "la suite d'ensembles est croissante" ?

[Robot]

@zygomatique : Sauf que visiblement le cours de nkcd utilise comme axiome pour la mesure l'additivité pour les familles dénombrables d'ensembles disjoints, et que justement la démonstration de la propriété que tu cites (dans le cas d'une union dénombrable) fait l'objet de la 1e question ! Par ailleurs, comment avec ta récurrence atteins-tu le cas d'une union dénombrable ?
Enfin, croissante pour une suite de parties est au sens standard : pour la relation d'ordre qu'est l'inclusion.

[Ncdk]

que signifie "la suite d'ensembles est croissante" ?

C'est croissant pour l'inclusion c'est-à-dire

[zygomatique]

ok Robot : c'est donc un pb d'axiomatique : quelles sont les définitions de base ...

mais je l'ai dit :: son erreur d'oubli portait à confusion

sinon pour

Enfin, croissante pour une suite de parties est au sens standard : pour la relation d'ordre qu'est l'inclusion.

je sais !!!

c'est à nkcd que je posais la question : il n'y a que cette hypothèse donc il faut bien l'utiliser

et je n'étais pas sur qu'il sache

car alors on a simplement

et il ne me semble pas qu'il y ait besoin de la question 1/

donc ...

[Robot]

Tu n'as pas répondu sur comment tu fais avec une récurrence pour arriver au cas d'une union dénombrable.
Et si tu connais une définition de mesure où la propriété que tu cites est dans la définition, peux-tu me donner la référence ?

[zygomatique]

alors peut-être que je me trompe ...

mais si pour tout n

alors en passant à la limite on obtient le résultat ....

mais bon peut-être est-ce faux ...

mes cours sur la théorie de la mesure datent de longtemps ... et je ne les utilise que rarement au lycée ... :lol3:

[Robot]

"alors en passant à la limite"
A gauche, tu utiliserais donc le résultat demandé à la question 2 pour répondre à la question 1 ?

[zygomatique]

pourquoi ? non ...

bon je viens de revoir la définition d'une mesure positive ...

je vais rentrer dans le rang ....et suivre la méthode classique ....