Je pense que c'est un truc très classique que je ne connais pas...
La fonction est définie sur
Equivalent d'une fonction
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equivalent d'une fonction
par tize » 01 Oct 2006, 18:40
Quelqun connait-il un moyen simple de d'avoir un équivalent en 
de =\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^{2n}})
Je pense que c'est un truc très classique que je ne connais pas...
La fonction est définie sur
Je pense que c'est un truc très classique que je ne connais pas...
La fonction est définie sur
par tize » 02 Oct 2006, 18:44
Excusez-moi, je me permet de faire remonter mon message juste une fois au cas ou des membres du forum ne l'auraient pas encore vu...et après je n'en parle plus...
par tize » 06 Oct 2006, 19:19
Bonjour à tous,
j'ai, je crois, enfin trouvé une réponse à mon problème alors je la poste des fois que cela intéresse quelqun. Je me suis basé sur un oral de l'X qui utilisait la même méthode...si vous pensez que j'ai fait une erreur quelque part dites le moi s'il vous plait.
En posant=\frac{x^n}{1-x^{2n}})
on a =\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n(x))
qui est définie pour des raisons assez faciles à voir sur 
\
.
En posant=\frac{x^t}{1-x^{2t}})
et en dérivant 
par rapport à 
on peut aussi voir après quelques calculs que sur le domaine qui nous intéresse (
:
dt \leq \int_{n}^{n+1}\varphi_x(n)dt = \int_{n-1}^{n}\varphi_x(n)dt \leq \int_{n-1}^{n}\varphi_x(t)dt)
En sommant maintenant de
à 
et avec =u_n(x))
, on obtient :
dt \leq \sum\limits_{n=2}^{N}u_n(x) \leq \int_{1}^{N}\varphi_x(t)dt)
Par ailleurs la fonction)
est intégrable sur 
car avec 
, \sim\limits_{t\to\infty}x^t=o\(\frac{1}{t^2}\))
d'ou en faisant tendre 
:
dt \leq \sum\limits_{n=2}^{\infty}u_n(x) \leq \int_{1}^{\infty}\varphi_x(t)dt)
Il ne reste plus qu'à calculer ces deux intégrales (faisant attention aux bornes, j'integre jusqu'à un point b que je fais tendre vers l'infini), un changement de variable (
) nous donne :
}{2\ln(x)})
pour la première intégrale et }{2\ln(x)})
pour la deuxième.
Un calcul rapide nous montre que}{2\ln(x)} \;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\frac{1-x}{1+x}\)}{2\ln(x)}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\)}{x-1}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1})
On a donc (sauf erreur de calcul...)\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1})
et comme le premier terme)
est négligeable devant cet équivalent (simple) on a finalement :
=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{1-x^{2n}}\;\sim\limits_{1^-}\;\frac{\ln\(\sqrt{\frac{1-x}{2}}\)}{x-1})
Est-ce juste ? Y a-t-il des vérifications à ajouter que j'aurai oubliées ?
Merci
j'ai, je crois, enfin trouvé une réponse à mon problème alors je la poste des fois que cela intéresse quelqun. Je me suis basé sur un oral de l'X qui utilisait la même méthode...si vous pensez que j'ai fait une erreur quelque part dites le moi s'il vous plait.
En posant
En posant
En sommant maintenant de
Par ailleurs la fonction
Il ne reste plus qu'à calculer ces deux intégrales (faisant attention aux bornes, j'integre jusqu'à un point b que je fais tendre vers l'infini), un changement de variable (
Un calcul rapide nous montre que
On a donc (sauf erreur de calcul...)
et comme le premier terme
Est-ce juste ? Y a-t-il des vérifications à ajouter que j'aurai oubliées ?
Merci
par sandrine_guillerme » 06 Oct 2006, 20:19
salut ,
J'ai essayer de comprendre ton raisonnement je crois que je suis bien d'accord.. mais .. pour le calcul rapide que tu a fais en passant par les équivalement je ne suis pas d'accord avec toi je sais pas pourquoi j'ai un 2 de trop .. mais je sais pas après tout t'es meilleur que moi..
J'ai essayer de comprendre ton raisonnement je crois que je suis bien d'accord.. mais .. pour le calcul rapide que tu a fais en passant par les équivalement je ne suis pas d'accord avec toi je sais pas pourquoi j'ai un 2 de trop .. mais je sais pas après tout t'es meilleur que moi..
par tize » 06 Oct 2006, 20:38
sandrine_guillerme a écrit:salut , pour le calcul rapide que tu a fais en passant par les équivalement je ne suis pas d'accord avec toi je sais pas pourquoi j'ai un 2 de trop
Où ça exactement ?
par tize » 06 Oct 2006, 21:23
J'ai refait les calculs...je vois pas...à moins de refaire la même erreur à chaque fois...
Si quelqun peut trancher
Si quelqun peut trancher
par sandrine_guillerme » 06 Oct 2006, 21:36
Oui peut etre que j'ai tort aussi .. quelqu"un est la ? ..
José si tu veux je peux demander ailleurs dans un autre forum?
José si tu veux je peux demander ailleurs dans un autre forum?
par nuage » 06 Oct 2006, 21:47
Salut,
Il me semble que le "calcul rapide" est exact.
Par ailleurs, et sans réussir à donner une démonstration convaicante, l'ai trouvé le même équivalant.
A+
Il me semble que le "calcul rapide" est exact.
Par ailleurs, et sans réussir à donner une démonstration convaicante, l'ai trouvé le même équivalant.
A+
par tize » 06 Oct 2006, 21:57
nuage a écrit:Salut,
Il me semble que le "calcul rapide" est exact.
Par ailleurs, et sans réussir à donner une démonstration convaicante, l'ai trouvé le même équivalant.
A+
OK, merci beaucoup
Cordialement
José
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