Equivalent d'une fonction définie par une série

[busard_des_roseaux]

Bjr,

question:



encadrer F(x) quand ou donner un équivalent.

[JJa]

Bonjour,

La série est une définition de la fonction de Bessel J0(X) avec
X=rac(-4*x)
rac = racine carrée
Lorsque x tend vers -infini, X tend vers +infini.
J0(X) est équivalent à (cos(X)+sin(X))/rac(pi*X)
Donc l'équivalent de la série est :
(cos(rac(-4*x))+sin(rac(-4*x)))/rac(pi*rac(-4*x))

[busard_des_roseaux]

J0(X) est équivalent à (cos(X)+sin(X))/rac(pi*X)

c'est difficile à montrer ?

[JJa]

Salut,

très sommairement :
J0(x) = (2/pi)*Somme de t=0 à t=pi/2 de cos(x*sin(t))*dt
Changement de variable : y = x*(1-sin(t))
sin(t) = 1-(y/x)
cos(t)*dt = -(1/x)*dy
dt = -(1/(x*rac(1-(1-(y/x)²))))*dy = -(1/rac(2x*y-y²))*dy
J0(x) = (2/pi)*Somme de y=0 à y=x de (cos(x-y)/dy
Pour x grand, y² est négligeable par rapport à 2x*y
J0(x) équivalent à (2/pi)*Somme de y=0 à y=x de (cos(x-y)/rac(2x*y))*dy
= (2/pi)*(1/rac(2x))Somme de y=0 à y=x de (cos(x-y)/rac(y))*dy
= S1 + S2
S1 = cos(x)*(2/pi)*(1/rac(2x))Somme de y=0 à y=x de (cos(y)/rac(y))*dy
S2 = sin(x)*(2/pi)*(1/rac(2x))Somme de y=0 à y=x de (sin(y)/rac(y))*dy
On sait que Somme de y=0 à y=infini de (cos(y)/rac(y))*dy =
= Somme de y=0 à y=infini de (sin(y)/rac(y))*dy = rac(pi/2)
S1 équivalent à cos(x)*(2/pi)*(1/rac(2x))* rac(pi/2) = cos(x)/rac(pi*x)
S2 équivalent à sin(x)*(2/pi)*(1/rac(2x))* rac(pi/2) = sin(x)/rac(pi*x)
J0(x) équivalent à (cos(x)+sin(x))/rac(pi*x)
Bien entendu, il faudrait ajouter des justifications par-ci par-là.
Un résultat plus fort est le développement asymptotique de J0(x), à partir du développement asymptotique de 1/rac(2x*y-y²) pour x tendant vers l'infini.