Equivalent de la suite définie par x^n*ln(x)=1

[Wirg]

Bonjour,
Suite à un exo trouvé dans l'officiel de la taupe, je fais face à un petit problème.
En gros l'exo s’intéresse à la suite définie par pour tout

On demande d'abord l'existence et l'unicité de la suite, ce qui se montre facilement avec un tableau de variation.
Puis, est-ce que la suite converge, on montre qu'elle est décroissante et minorée par 1.
On montre de même que sa limite est nécessairement 1.

L'énoncé demande enfin de montrer que .
Et c'est ici que je bloque, je note , donc .
Et à l'aide de la formule de définition, je fait .
J'ai donc .

Et

Et j'en déduis .


Ce qui n'est pas l'énoncé proposé (il me manque le ln(n)). J'ai donc fait une erreur quelque part.
Quelqu'un pourrait-il me dire où ? Et si possible me dire comment trouver l'équivalent.

Merci d'avance !

EDIT : Je crois que je viens de repérer d'où vient mon erreur. J'ai fait le développement limité et la puissance dépend de n or si rien ne me garantit que ce soit le cas de ce qui m’empêche de faire le dl en . D'ailleurs au vu de la formule proposée par l'énoncé .
Est-ce bien ça ? Et quelqu'un aurait il une solution ?

Merci d'avance (again) !

[adrien69]

En fait tu as fait tes dl comme si n était fixé et v(n) variait seul. Sauf que tu fais des DL à n asymptotiquement grand. Donc (1+v(n))^n ne se développe bien pas comme tu l'as fait.

Il devrait y avoir des expressions comme n²v(n) dans tes "o".

Je regarde comment faire sinon.

[adrien69]

Un conseil, utilise des arguments d'analyse pour montrer que v(n) est compris entre ln(n-1)/(n-1) et ln(n)/n (En plus tu as déjà ton tableau de variation si j'ai bien compris)

Ça a l'air de marcher chez moi.

[Wirg]

Merci beaucoup pour ton aide, effectivement pour le dl, je vais voir pour l'équivalent. Ca m'étonne un peu là comme ça, d'habitude l'équivalent ne permet pas d'avoir un équivalent mais tu dois avoir raison.
Serait-ce dû au fait que la suite temps vers une limite finie ?

[adrien69]

Je pense que c'est plus simple parce que la limite est finie et que la convergence est monotone. Mais encadrer permet parfois d'aboutir au résultat, que la limite soit finie ou pas. Par ailleurs j'ai peut-être faux. J'ai posé le calcul sur un bout de nappe.

[Wirg]

Excuse-moi, mais je ne vois pas comment tu fais pour encadrer par les 2 suites.
Je dois louper quelque chose, j'ai essayer de montrer que avec , mais je ne parviens à rien.

[adrien69]

Remarque idiote. Tu essaie de majorer a(n) là ?
Parce que ln(n)/nAlors c'est pt'ête dans l'aut' sens quoi.

[adrien69]

Mais je ne pense pas que ça marchera en fait.

En fait ce que je voulais faire c'était majorer la vitesse de convergence de a(n) vers 1, pour pouvoir prouver que a(n)^n tendait aussi vers 1. Si la majoration de la convergence était assez fine. Auquel cas le résultat était immédiat.

[Ben314]

Salut,

- Si on fixe un , on a pour tout , donc

Qui tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, donc il existe un tel que , c'est à dire soit encore (toujours pour )

- Si on fixe un , on a pour tout assez proche de 0 donc, pour n assez grand, on a :

Qui tend vers +oo lorsque n tend vers l'infini, donc il existe un tel que pour , c'est à dire )

CQFD

[Wirg]

[quote="adrien69"]Remarque idiote. Tu essaie de majorer a(n) là ?
Parce que ln(n)/n1[/TEX] et du coup tu as l'encadrement au bout d'un certain N (maximum des 2) pour et donc tu en déduis l'équivalent ?