Dans le cadre d'un exercice de probabilités que je contextualise plus bas pour ceux qui sont intéressés, j'aimerais trouver un équivalent simple de
Je n'ai pas la moindre piste pour rechercher cette équivalent (j'avais pensé que les séries entières allaient m'aider...), je prends donc toutes les bonnes idées.
Merci !
CONTEXTE : On considère n urnes identiques, contenant chacune p boules numérotées de 1 à p. On en prend une de chaque et on regarde la variable aléatoire égale au plus grand des numéros tirés. C'est un exercice classique où l'obtention de la loi de X se fait bien par la fonction de répartition. Se pose ensuite le calcul de l'espérance qui se fait en manipulant des sommes (changement d'indice, relation de Chasles etc). Enfin, on cherche le comportement de cette espérance lorsque l'un des paramètres tend vers l'infini :
- à n fixé, on trouve que
- à p fixé, on peut par exemple utiliser un théorème de convergence de Riemann qui donne comme équivalent à cette espérance :
Naturellement, je me suis demandé ce qui se passait lorsque n = p et je trouve :
