Equations différentielles simples

[bitonio]

Bonjour à tous,

On nous a balancé les formules des equas diff au dernier cours de physique, et je vous avoue que certains détails m'ont échapés... J'arrive à les résoudre, mais pas toujours à comprendre...

exemple:



On calcule l'équation caractéristique associée:

on trouve



Il y a donc deux racines complexes

Donc

Ce qui donne, d'après la formule générale:


Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi tous les i se suppriment ?


Autre problème que je connais, trouver les solutions particulières:



Je trouve sans problème les solutions générales, mais comment peut on trouver la solution particuliere qui nous permet de donner la forme générale de y(x)

Merci d'avance!

Ps: on bosse à coefficient constant

[abcd22]

Bonjour,

Donc

Ce qui donne, d'après la formule générale:


Quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi tous les i se suppriment ?

Les solutions qu'on cherche sont à valeurs réelles, elles doivent donc vérifier , d'où , et donc et en séparant les parties réelle et imaginaire de et en utilisant les formules d'Euler on obtient des cos et sin.

Autre problème que je connais, trouver les solutions particulières:



Je trouve sans problème les solutions générales, mais comment peut on trouver la solution particuliere qui nous permet de donner la forme générale de y(x)

Ici le second membre est un polynôme du second degré, donc on cherche une solution particulière polynomiale de degré 2. Plus généralement, si le second membre est de la forme avec P un polynôme, on cherche une solution particulière de la forme avec Q polynôme de degré deg P + la multiplicité de comme racine du polynôme caractéristique de l'équation (car si est racine du polynôme caractéristique il y a des coefficients qui s'éliminent quand on remplace y par dans l'équation).

[bitonio]

Merci bien, tout s'éclaircit maintenant :++: