Equations aux dérivées partielles

[guillaume100]

Bonsoir à tous,

Trouver les applications f de classe C1 sur un ouvert de R^2 à préciser vérifiant :



J'ai intégré selon x, et selon y et après je bloque, quelqu'un sait comment faire ?

[Sake]

Salut,

f(x,y) = -(x²+y²)/4 est une solution mais je ne saurais toutes les donner... Du coup je pose aussi une question aux membres expérimentés pour connaître la résolution rigoureuse.

Je serais passé par un formalisme employant des opérateurs différentiels (en réécrivant l'équation sous une autre forme) mais le produit scalaire n'est pas associatif donc mon approche tombe à l'eau il me semble.

[LB2]

Je crois qu'on peut faire un changement de variable, j'y réfléchis un peu

[aviateur]

Il faut ajouter la solution générale h(y/x) de l'équation homogène où h est une fonction qcq suffisamment régulière.

[guillaume100]

Bonjour à tous et merci pour vos réponses !

Comment on trouve la solution de l'équation homogène ? On intègre selon x puis selon y ?
@Sake t'as trouvé comme ta solution ? C'est quoi les opérateurs différentiels ?

[aviateur]

Bon
Bon pour la solution particulière c'est fait. Il reste résoudre :

(E)

On a
Donc

Alors, si (i.e y/x=k=cste) alors f est constante.
Autrement dit si h est une fonction qcq suffisamment régulière
est solution de (E)

[Sake]

Bonjour à tous et merci pour vos réponses !

Comment on trouve la solution de l'équation homogène ? On intègre selon x puis selon y ?
@Sake t'as trouvé comme ta solution ? C'est quoi les opérateurs différentiels ?

Oublie les opérateurs différentiels. C'est sans doute pas encore à ton programme et en plus ça marche pas de la manière que j'ai faite...

J'avais très naïvement écrit (à la physicienne) où et j'ai multiplié par à droite sauf que ça ne fait pas sens (bien que ça soit souvent fait en méca-flu!!!!!! )

Edit: Et sinon pour la solution particulière, je l'ai trouvée au pif, donc bon...

[aviateur]

Bon j'ai modifié le message ci-dessus pour résoudre l'équation homogène .

[LB2]

Bonjour,

je récapitule :
En notant , on remarque que est solution particulière de (E).
f est solution de (E) si et seulement si est solution de l'équation homogène


qui admet pour solutions les fonctions de la forme (x,y) -> h(y/x) où h est de classe C1 sur R

à condition que l'ouvert de R^2 à sur lequel on cherche des solutions ne contiennent pas de points où x=0


Conclusion : l'ensemble des solutions de (E) sur un ouvert ne contenant pas de points où x=0 est , avec h fonction de classe C1 quelconque.

[LB2]

J'aimerais pouvoir rédiger la résolution de l'équation homogène au niveau L1/L2 sans avoir recours à la différentielle et à l'intégration de la forme différentielle -ydx+xdy (si j'ai bien compris) : je n'y connais rien en formes différentielles.

Une méthode est je crois de passer en coordonnées polaires et d'exprimer la nouvelle équation obtenue en (r, theta)

[Skullkid]

Bonjour, en effet on peut passer par les coordonnées polaires (le donne très envie de le faire, et si on a un peu l'habitude on voit que les dérivées partielles se goupillent bien en polaires aussi) : avec , l'équation devient , qui se résout immédiatement.

Après pour l'ouvert c'est un peu tricky, et comme l'enoncé est flou je ne sais pas trop ce qui est attendu. Le choix le plus standard est sans doute de prendre privé d'une demi-droite issue de l'origine (la demi-droite , traditionnellement) et la fonction h a juste besoin d'être C1. Mais si on impose une condition de périodicité sur h on obtient des solutons sur privé de l'origine. Et bien sûr avec h constante on a des solutions sur tout entier.

[aviateur]

Rebonjour
Si tu passes en coordonnées polaires les dérivées partielles de x,y par rapport à sont données par la matrice:

Les dérivées de par rapport à (x,y) est donc :


donc si on pose
En remplaçant on trouve facilement


Autrement dit g ne dépend pas de r. On trouve donc comme solution
(mais une fonction de y/x)....

pas vu le message de @Skullkid.

[guillaume100]

Merci beaucoup pour vos réponses !

-jsvdb: comment tu fais pour obtenir la deuxième matrice ? moi j'ai des en haut à gauche en utilisant la relation et en dérivant par rapport à x.

Ensuite comment vous faites une fois qu'on a résolu implique est une constante pour montrer que toutes les fonctions h(y/x) marchent ? ?C'est parce que f est constante sur les y/x=constante donc elle s'écrit comme une telle fonction, mais je vois pas où est la réciproque ?

-sake : ouais la physicienne c'est plus rapide mais je vois pas d'où sort les gradients et les transposées haha

-Skullid: Quand je fais le changement de variable j'obtiens:

et là je sais pas montrer que ça fait dans la parenthèse;

est-ce que ?

Pourquoi la périodicité de ha permet d'obtenir des solutions ??

[Skullkid]

-Skullid: Quand je fais le changement de variable j'obtiens:

Tel que tu l'écris ça ne veut rien dire, faire un changement de variable ce n'est pas juste remplacer tous les x par des et tous les y par des . En particulier, même en rédigeant à la physicienne, écrire quelque chose comme ça passe pas...

Comme tu débutes et que l'exercice m'a quand l'air d'être posé dans un contexte de "matheux" (un physicien ne va jamais s'embarrasser avec des histoires d'ouverts ou de classe de régularité), il vaut probablement mieux prendre la voie rigoureuse (donc exit les formes différentielles, à moins que tu ne les aies vues et définies proprement) sinon tu risques de commettre beaucoup d'erreurs à l'avenir.

Déjà le premier truc à comprendre c'est qu'utiliser des notations du genre pour désigner les dérivées partielles est trompeur. Quand tu vois , tu dois penser "dérivée partielle de f par rapport à sa première variable", pas "dérivée partielle de f par rapport à x". C'est juste que la première variable s'appelle très souvent x et donc on fait apparaître x explicitement au "dénominateur" dans la notation , mais ce x est en quelque sorte muet, et une notation plus rigoureuse serait par exemple . Bref, c'est peut-être un peu technique pour l'instant, mais tu peux au moins te contenter de retenir qu'en pratique quand tu écris , il faut que soit le nom d'une variable (mieux, une des variables de la fonction f), ça ne peut pas être une expression compliquée qui combine plusieurs objets. Ainsi ou ne veulent rien dire, et si tu es tenté d'écrire ce genre de choses tu es problement en train de te tromper.

Reprenons. Quand on définit la fonction g par , on peut calculer les dérivées partielles de g simplement en appliquant les formules standard de dérivation des fonctions composées. Ici je vais juste m'occuper de la dérivée partielle par rapport à la première variable de g, qui se trouve s'appeler r :



Et donc si on définit les fonctions x et y par et on voit que



Et comme c'est horrible à écrire à cause de toutes les dépendances, en pratique on fait un abus de notation et on écrit juste . Mais c'est super important de te rendre compte qu'il y a beaucoup de non-dit dans cette écriture.

Quand on a montré que la solution en g était de la forme , les conditions que doit satisfaire h dépendent de l'ouvert sur lequel tu veux récupérer une solution en f. Si tu veux une solution f qui soit C1 sur privé de l'origine, la fonction h doit être 2pi-périodique (enfin plus exactement elle doit satisfaire des conditions du genre et ). C'est lié au fait que tu peux choisir plusieurs valeurs de pour x et y donnés.

[aviateur]

Merci beaucoup pour vos réponses !

-jsvdb: comment tu fais pour obtenir la deuxième matrice ? moi j'ai des en haut à gauche en utilisant la relation et en dérivant par rapport à x.

Ensuite comment vous faites une fois qu'on a résolu implique est une constante pour montrer que toutes les fonctions h(y/x) marchent ? ?C'est parce que f est constante sur les y/x=constante donc elle s'écrit comme une telle fonction, mais je vois pas où est la réciproque ?

Rebonjour
D'abord je suppose que -jsvdb c'est moi?

sinon la deuxième matrice c'est bien sûr l'inverse de la première matrice. Ceci étant dit, quand tu dis "j'ai trouvé..... " mais sans mettre les détails, on ne peut pas expliquer où est ton erreur.

Quant à la deuxième question qui me concerne:
La réciproque c'est une simple vérification.
Ici on sait que les courbes où f est cste (i.e df=0) sont les courbes y/x=cste. Donc si f est solution f est une fonction de y/x, i;e f(x,y)=h(y/x) . Maintenant il suffit de remplacer dans l'équation pour voir que f(x,y)=h(y/x) en précisant bien la régularité de f et l'ouvert sur lequel le calcul est valide.

Encore une fois je réponds en même temps que @skullid.
J'envoie mon message tout de même, je suis d'accord avec lui et les réponses s'ajoutent.

[guillaume100]

Bonsoir,

-Merci beaucoup Skullkid j'ai tout compris ça veut dire qu'on dérive par rapport au premier vecteur de la base. Pourquoi ? J'ai c'est quoi après svp ?

-Haha je venais de poser une question sur un autre forum et j'ai confondu @aviateur je ferai attention la prochaine fois. Pour l'erreur, j'ai dit que donc et là je différencie et là mon erreur c'est d'avoir oublié que dépend de x et que quand je différencie je différencie selon la première variable qui n'est pas forcément x de l'autre côté de l'égalité non ?


Si on a la base , le dernier vecteur est pas le même, est ce que la dérivée de f par rapport à la première variable est la même dans les deux bases ? (je crois pas mais comment le montrer svp)

[Skullkid]

Le passage en coordonnées polaires n'est pas "parfait" (*) parce que n'est pas défini à l'origine et que sa valeur subit forcément une discontinuité si tu essayes de le définir partout ailleurs. C'est le même problème qu'avec l'argument d'un nombre complexe, par exemple si tu fais le choix classique de prendre dans , tu vas avoir une discontinuité le long du demi-axe horizontal négatif : x = -1 et y = 0 correspondront à mais x = -1 et y < 0 correspondront à des valeurs de proches de pour y arbitrairement petit. Au final tu as un choix à faire : soit tu veux que soit défini sur un domaine le plus grand possible et tu es obligé de renoncer à la continuité, soit tu veux garder la continuité et tu es obligé d'exclure certains points de ton domaine.

Ce que tu dois trouver pour ton exercice c'est des fonctions f solutions de ton équation de départ qui sont C1 sur un ouvert . Donc une fois que tu as résolu l'équation auxiliaire qui porte sur la fonction g, il faut t'assurer que tu retombes bien sur une "bonne" fonction f, et cette histoire de choix à faire va refaire surface : soit tu restreins de sorte à ce que le passage cartésiennes-polaires se fasse sans accroc, soit tu veux prendre le plus gros possible et dans ce cas tu dois t'arranger pour corriger les irrégularités du passage cartésiennes-polaires. En imposant tu t'assures que la fonction soit continue même quand saute entre et . Même chose pour h'.

C'est probablement un peu confus pour toi, ce qui est normal, n'hésite pas à faire des dessins quand tu fais des changements de coordonnées, histoire de visualiser ce qui se passe et les problèmes que tu peux rencontrer.

(*) En termes pompeux, tu es obligé de restreindre les ensembles de départ et d'arrivée de si tu veux en faire un difféomorphisme.

[aviateur]

Pour l'erreur, j'ai dit que donc et là je différencie et là mon erreur c'est d'avoir oublié que dépend de x et que quand je différencie je différencie selon la première variable qui n'est pas forcément x de l'autre côté de l'égalité non ?


Si on a la base , le dernier vecteur est pas le même, est ce que la dérivée de f par rapport à la première variable est la même dans les deux bases ? (je crois pas mais comment le montrer svp)

Bonjour
Concernant l'ouvert @skullid a bien précisé le pb. Donc je réponds à tes 2 questions ici.
Oui si alors mais est une fonction de x et y d'où ton erreur.
Mais pour les calculs, si tu as une correspondance bijective entre les anciennes variables et les nouvelles de la forme donc équivalent à avec
alors si tu veux calculer il est préférable d'exprimer r uniquement en fonction de (x,y).
Tu peux t'amuser à refaire les calculs et vérifier que les dérivées obtenues correspondent bien à la deuxième matrice que j'ai donnée.

Pour ta deuxième question, je crois que le mieux c'est de revenir à la définition.
Prends un exemple simple avec n=2. Appliques la définition dans les 2 cas et tu verras bien.

[guillaume100]

Bonsoir et merci beaucoup pour vos réponses !

-Skullkid: j'ai compris la continuité merci ! donc il suffit que h et sa dérivée prennent les mêmes valeurs en et en pour que la solution soit

-Aviateur: J'ai refait les calculs, et là je me demande la première matrice c'est la matrice jacobienne de quelle fonction ?
Pour la deuxième question, j'ai trouvé que c'est la matrice de changement de base qui va influer si l'application est linéaire, en gros si est la matrice de f dans la base , la matrice de passage de la base à alors la dérivée vaut:

quand on dérive dans la base d'origine et sinon ça vaut dans l'autre base ;

Si j'assimile p à l'application linéaire correspondant à P, alors c'est la même formule mais A est remplacé par f où f est quelquonque, c'est ça ?

[aviateur]

Bonjour
Si tu poses la première matrice est la matrice Jacobienne de g