Équation trigo

[Benabt]

Bonjour a tous!
Je suis actuellement en prepa audio et nous sommes en début d'années, je n'ai pas fait de maths depuis 4 ans (parcours scolaire assez particulier) et j'ai oublié pas mal de choses... Actuellement je sèche sur une équation de trigo et je demande votre aide !
La voici :

2sinx-cosx=Racine(5)/2

Après avoir élever le tout au carré (intuition?) j'en suis arrivé à : 3(cosx)^2+4sinxcosx=11/4

Pouvez-vous me dire si je suis sur la bonne voie et/ou m'aider?
Merci !

Édit: probleme dans mon calcul mais je suis encore bloquée

[anthony_unac]

Bonsoir,
Visiblement, la solution (littérale) est assez moche alors ne cherchez pas non plus midi à quatorze heure une forme jolie de x modulo qqch

[Benabt]

Merci de votre réponse !
Mais en faite je bloque totalement je sais pas comment avancer à partir de mon résultat actuel pour trouver X ...

[anthony_unac]

Pour commencer, le membre de droite de l'équation est : ou bien ?

[Benabt]

Le second, excusez moi pour l'ambiguïté d'ailleurs, mon téléphone ne me permet pas d'être précis...
La racine ne s'applique que sur le 5.

[anthony_unac]

A première vue, je ne vois pas de simplification miracle, avez vous tenté une méthode un peu brute consistant à remplacer cos(x) et sin(x) par leur "définition" à l'aide de l'exponentielle ?

[Benabt]

Non du tout, pour être honnête je n'ai meme jamais vu ca ( ou ma mémoire me fait défaut probablement)

[anthony_unac]

Certaines personnes appellent ça les formules d'Euler (c'est pas terrible comme nom en terme de précision quand on sait le nombre de "formules" que le bonhomme à donné) :

[Benabt]

Merci j'étais parti voir sur internet en attendant !
Ce qui nous donnerai :
e^(ix)-e(-ix) = racine(5)
Ensuite j'applique la formule Ln? Normalement non vu qu'on est pas dans les complexe en théorie avec la fonction Ln?

[Benabt]

J'ai pensée à un changement de variable en posant X=e^ix mais ca n'a pas été concluant apparament... A moins que je me trompe dans mes calculs

[anthony_unac]

Non, c'est un terrain glissant (truffé de pièges et d'interdictions)

[anthony_unac]

Il n'y a rien à en tirer, s'il s'agit de trouver à la louche quelque valeurs vous pouvez toujours le faire mais pour la résolution en bonne et due forme c'est compliqué (du moins je bloque tout comme vous).

[Benabt]

J'ai changee de variable en posant X=e^ix
On trouve X1= (racine(5)+9)/2 X2<0 donc pas possible
En remplaçant on aurait donc x=ln(X1)
Sauf qu'en tapant ca dans ma calculatrice dans l'équation de base, ét bah ça marche pas
Donc vraiment la je suis perdu!

Ma prof A donnée ca en td c'est Sensé être fesable de manière précise... L'équation fait A elle seule l'exo donc aucune piste...

[anthony_unac]

Votre équation est fausse lorsque vous transformez cos(x) et sin(x) par des exponentielles. En outre, cette piste ne semble pas être la bonne.

[Benabt]

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[Benabt]

en effet je l'avais fais trop rapidement !
On trouve X^2-racine(5)X-3=0
Ma solution est X= [racine(5)+racine(17)]/2
Mais avec ln(X) ca ne résous pas l'équation ...

[anthony_unac]

Non c'est faux également, vous auriez du tomber sur quelque chose comme :

[Benabt]

Oulala j'avais oublier le i au dénominateur du cos!
En effet!
Sauf que la... Niveau équation je peux strictement rien faire , enfin j'en ai l'impression

[anthony_unac]

Effectivement, c'est une impasse !
Votre dernière chance consiste à utiliser la tangente de l'arc moitié avec t = tan(a/2) :

Visiblement, on retombe sur un trinôme du second degré en "t" assez moche mais bon à tester ...

[Benabt]

D'accord mais je comprend pas bien comment on est passer de a à t ! Ét comment je pourrai repasser à mon inconnu de départ à la fin?