Équation trigo

[anthony_unac]

a est une variable et dans ton exercice on l'appelle x, c'est tout

[Benabt]

Oui j'avais compris ca quand même !:) mais je voyais pas comment A la fin, lorsque l'on a t , comment on repasse à X ?
J'ai trouvé les solutions de l'équation en t
Mais cela correspond aux solutions de mon équation en X?

[anthony_unac]

Sachant que t=tan(x/2), vous pouvez conclure, non ?

[Pisigma]

Bonsoir,

peut-être
poser ,


l'équation s'écrit

sauf erreur de ma part...

...
de toute façon la solution sera un peu tordue

es-tu sûr de ton énoncé?

[Pisigma]

grillé, j'ai passé trop de temps à taper

[anthony_unac]

Oui voila, c'est quelque chose de ce type que j'avais griffonné également

[Benabt]

Desolee je ne savais pas que t=tan(X/2) ...
Oui je suis certain de l'énoncer et j'ai trouvée la meme équation que toi pour finir sur
T=[-8-Racine(60)]/2(2-racine(5))
Et son conjugué
Ensuite je passe donc par t=tan(x/2) ét ca devrai être fini?:/

[anthony_unac]

Voila une histoire qui finit bien (quoi que la solution reste assez moche) et je vais en profité pour aller au lit

[Benabt]

Merci à vous deux pour votre précieuse aide ! Sincèrement !
J'abuse si je demande le résultat pour t=tan(X/2) ?
Bonne nuit à vous!

[Pisigma]

t peut aussi s'écrire

on peut encore multiplier par le conjugué du dénominateur, mais il est tard...

enfin ...

[Benabt]

Merci je me disais qu'il existait pas de petit truc autre que la calculatrice !

[MMu]

On écrit .
Ensuite soit donc
et donc ... and so on ..

[Benabt]

Oui c'est le meilleur solution en effet! Mais pour ca il faut juste poser un angle a sans définir sa mesure

[Carpate]

le changement te donnera une équatio du second degré en t
Après résolution tu repasseras à x par x = 2 arctg(t)

[Ben314]

Salut,
Il y a effectivement des tonnes de méthodes dont celles déjà mentionnées :
- Passer en complexe pour avoir une équation du second degré en .
- Utiliser les formules classiques d'arc moitié pour se retrouver avec une équation du second degré en .
- Exprimer sous la forme

Mais on peut aussi en trouver des tas d'autres :
- Ecrire l'équation sous la forme , élever au carré et utiliser le fait que pour obtenir une équation du second degré en ou bien la même chose en isolant le .
- Regarder l'énoncé sous forme géométrique : on cherche l'intersection de la droite d'équation 2y-x=racine(5)/5 avec le cercle trigo. et le truc qui peut venir à l'esprit, c'est de chercher le projeté P du centre du cercle sur la droite en question puis de dire que les solutions sont où est un vecteur directeur de la droite (çe qui correspond à faire géométriquement une "mise sous forme canonique d'un trinôme")

[Benabt]

Salut, pour etre passer par l'équation du second degré grâce à la règle d'euler, je bloque un petit peu une fois le tout remplacer, j'ai l'impression qu'on ne peux rien poser a cause des i ...
Pour ce qui est de la dernière solution, comment déterminer un angle donc les sinus et cosinus sont 2/racine(5) ét 1/racine(5)
On voit que ca corespond au meme angle ce qui nous permet d'utiliser cette règle pas de soucis.
Mais une fois arriver à sin(x-a) =1/2 on ne connaît pas A donc au final je vois pas comment déterminer x aussi précisément que tout A l'heure

[Ben314]

Salut, pour etre passer par l'équation du second degré grâce à la règle d'euler, je bloque un petit peu une fois le tout remplacer, j'ai l'impression qu'on ne peux rien poser a cause des i ...

Je ne comprend pas ce que tu veut dire....

Pour ce qui est de la dernière solution, comment déterminer un angle donc les sinus et cosinus sont 2/racine(5) ét 1/racine(5)

Là, tout dépend de ce que tu appelle "déterminer".
1) L'angle en question existe bel et bien vu que (2/racine(5))²+(1/racine(5))²=1.
2) Tu peut l'exprimer de façon exacte en disant qu'il est égal à arcsin(2/racine(5)) ou Arccos(1/racine(5)).
3) L'angle en question ne peut pas s'exprimer sous la forme lambda.pi avec lambda un rationnel (c'est pas trivial à démontrer, mais pas archi. difficile non plus) donc il ne faut pas espérer bien mieux que la réponse donnée au 2).
4) Entre un angle exprimé sous la forme theta=Pi/3 par exemple et un autre sous la forme theta=arcsin(2/racine(5)), si on te demandais à la main de donner les 20 premières décimales de theta, es-tu sûr que tu y arriverais plus facilement pour le premier angle que pour le deuxième ?

Mais une fois arriver à sin(x-a) =1/2 on ne connaît pas A donc au final je vois pas comment déterminer x aussi précisément que tout A l'heure

Si, tu connais a : il est égal à arcsin(???) et, de nouveau, ça te permet d'écrire x=... où les ... contiennent évidement le symbole arcsin.

Ce qu'il faut bien comprendre, c'est que :
- Les "nombres", ce ne sont évidement pas tous de décimaux donc que, par exemple la solution de l'équation 3x=1, on ne risque pas de la donner sous la forme d'un nombre décimal donc on la donne sous la forme d'une fraction : x=1/3.
- Les "nombres" ne sont pas tous des fractions, donc, par exemple, la solution positive de l'équation x²=2 on ne risque pas de la donner sous la forme d'une fraction et on la donne sous la forme d'une racine : x=racine(2).
- Les "nombres" ne sont pas tous des racines (éventuellement de racines de racine....) donc par exemple la solution de l'équation ln(x)=1, ben on la donne sous la forme x=e où la lettre e représente, par définition... la solution de cette fameuse équation. Et si on fait ça, c'est du fait qu'on ne peut pas écrire ce fameux nombre e sous la forme de décimal, ni sous la forme de fraction, ni sous la forme de racine de racine de je sais pas quoi.

Bref, ici, il faut accepter que la solution de ton bidule, ça soit Arcsin(2/racine(5)) et que ça ne puisse pas s'écrire plus simplement que ça et il faut aussi comprendre qu'au fond, ce n'est ni mieux, ni pire que lorsque l'on dit que la solution d"une équation, c'est x=25/12 (=le "nombre" qui, multiplié par 12 donne 25) ou bien que c'est x=racine(7) (= le "nombre" positif qui, élevé au carré donne 7) ou bien que c'est x=ln(3)

[Benabt]

Deja merci de ta réponse!
Pour ce qui est du changement de variable, je bloque un petit peu mais vu que vous m'avez expliquer une autre méthode ça va aller. Je ne sais pas vraiment poser quel inconnue. J'essaye avec X=e^ix mais je ne sais pas quoi faire du i au dénominateur de la fraction

Pour le reste j'avais bien compris qu'on avait pas le choix que de laisser un angle a défini par son sinus et cosinus sans déterminer sa mesure, mais j'ai l'impression que dans ma copine au concours ca ferai un peu tache de pas déterminer, comme si j'étais pas aller au bout du probleme ...

[nodgim]

Perso, je l'ai fait comme Ben (niveau Lycée)
2 s = c + a (avec s pour sinx et c pour cos x et a pour V5/2)
2 s = V(1-s²) + a
2s - a = V(1-s²)
On fait attention que 2s > a puis on élève au carré et on résout la classique équation du second degré.

[Ben314]

Si tu veut passer par les complexe, la "mini astuce" si on peut dire, c'est de voir que donc, si on pose , l'équation

devient

puis, en multipliant par et en utilisant le fait que

soit encore