Equation Trigo

par **DELPHINE42** » 11 Aoû 2006, 16:42

Bonsoir,

Je n'arrive pas à résoudre l'équation suivante, si quelqu'un à une idée...

cos² x - cos² 2x + cos x cos 3x = 1/2

Merci d'avance

par **Sdec25** » 11 Aoû 2006, 17:07

Salut

Il faut utiliser une formule de linéarisation pour les cos² :

Pour le produit de cos il faut utiliser ces formules :

et

donc

On en déduit

Ça devrait simplifier pas mal l'expression.

par **fonfon** » 11 Aoû 2006, 17:13

Salut,

normalement on trouve que

cos² x - cos² 2x + cos x cos 3x =cos2x donc il reste plus qu'à resoudre cos2x=1/2

par **nuage** » 11 Aoû 2006, 23:28

Salut,
je ne suis pas d'accord avec fonfon.
En utilisant Euler (ou n'importe quel formulaire de trigo) on a :

Il suffit alors de résoudre l'équation où l'inconnue est

, ce qui n'est pas trop difficile. Puis d'en déduire x.

A+

par **alben** » 11 Aoû 2006, 23:40

nuage a écrit:Salut,
je ne suis pas d'accord avec fonfon.
Il suffit alors de résoudre l'équation où l'inconnue est , ce qui n'est pas trop difficile. Puis d'en déduire x.

A+

Bonsoir,
ouais, tu remplaces une equation de degre 1 par une de degré 2 (qui aurait pu être de degré 4) avec à peu près autant de calculs pour y arriver

par **nuage** » 12 Aoû 2006, 00:04

alben a écrit:Bonsoir,
ouais, tu remplaces une equation de degre 1 par une de degré 2 (qui aurait pu être de degré 4) avec à peu près autant de calculs pour y arriver

.
Certe l'équation aurait pu être de degré 4 mais dans ce cas aucune autre méthode n'aurait pu faire mieux.
Quand à résoudre

, ça ne me semble pas trop difficile.
Dernière remarque l'équation proposé au départ n'est pas de degré 1. Il s'agit d'une équation transcendante (elle a une infinité de solutions) et même si on la considère comme une équation en

tout ce que l'on peut dire à priori est précisément que son degré est inférieur ou égal à 4.

A+

par **alben** » 12 Aoû 2006, 07:24

nuage a écrit:.Certe l'équation aurait pu être de degré 4 mais dans ce cas aucune autre méthode n'aurait pu faire mieux.

Bonjour,
Non ce n'est pas toujours le cas. C'est pour avoir fait la même erreur que je suis affirmatif : regarde les messages 7 et 8 de la discussion suivante :
http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=17407
On arrive à une équation du 4ième degré qui n'est pas triviale :

Par ailleurs, n'oublie pas que l'expression de cos 3x que tu cites est utilisée pour résoudre l'équation du 3ième degré, ce qui montre qu'elle ne disparait pas naturellement en traitement algébrique

par **fonfon** » 12 Aoû 2006, 08:17

Salut, je te donne ma demonstration :
on pose f(x)=cos² x - cos² 2x + cos x cos 3x
on peut ecrire que:
cosxcos3x=1/2[cos(3x+x)+cos(3x-x)]=1/2[cos(4x)+cos(2x)]

d'autre part : cos(2x)=2cos²x-1 ou cos²x=(1+cos(2x))/2

et comme cos4x=cos2(2x)=2cos²(2x)-1

f(x)avec peut s'ecrire (1+cos(2x))/2-cos²(2x)+1/2(2cos²(2x)-1+cos(2x))

soit f(x)=(1+cos(2x)-2cos²(2x)+2cos²(2x)-1+cos(2x))/(2cos(2x))/2=cos2x

donc f(x)=cos(2x)

on resout f(x)=1/2 soit cos(2x)=1/2

donc cos(2x)=cos(pi/3)....

A+

Equation Trigo

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