équation résoluble par radicaux

[mathelot]

bonjour,

comment montre t on que l'équation:

est résoluble par radicaux ?
on peut la ramener à du degré 5 mais je ne sais pas calculer
son goupe de Galois.
(je m'intéresse à )
merçi d'avance.

[mathelot]

bonsoir,
si vous voulez, je fais le changement d'inconnue et la suppression du terme en . C'est ensuite , comment étudier son groupe de Galois ?

[yos]

Bonsoir. Je pense qu'elle n'est pas résoluble par radicaux.
Le groupe de Galois de l'équation est aussi celui de , et il est donc isomorphe au groupe multiplicatif de Z/11Z, c'est-à-dire à Z/10Z.

[mathelot]

bonjour Yos,
cette équation est résoluble par radicaux (résultat dü à Vandermonde).

j'ai essayé de comprendre. Pourrriez vous me valider les affirmations suivantes ?
soient les racines de l'équation avec

1) Il y a un plus petit sous-corps L de C qui contient les .
2) L est un espace vectoriel sur Q
3) je ne sais si les sont linéairement indépendantes sur Q ? si L est de dimension finie sur Q et si les en forment une base ?
4) un automorphisme f de L definit une permutation des racines
en effet, pour tout i de [1;11]
donc si est une racine, aussi.
Comment montrer qu'il y a un isomorphisme entre le groupe
des automorphismes de L muni de la composition des applications
et le groupe multiplicatif je vois bien , que si un automorphisme f de L est connu par la donnée
des , i.e par la donnée de , car , ça revient à se donner
un entier u modulo 11, puisque il existe u dans N tel que:
5) je ne vois pas pourquoi (x) est isomorphe à Z/10Z ?
6) j'ai vu qu'il fallait regarder si le groupe de Galois est résoluble
c'est à dire trouver une suite de sous-groupe
telle que tel que soit distingué dans et soit commutatif.
je m'attend que ait au moins un sous-groupe distingué à cause de l'abaissement du degré de l'équation de 10 à 5
et du changement d'inconnue
qui est, comment pourrait on dire, algébrique de degré 2 ?
7) comment exploiter le fait que les sont des racines carrées des pour ?
8) on a le sous-groupe des puissance de 2, des puissances de 3, etc..modulo 11
groupe multiplicatif d'ordre 10
de
d'ordre 5
d'ordre 5
d'ordre 5
d'ordre 10


ordre 5
ordre 2

je ne sais si ce sous-groupe apporte quelque chose à la résolubilité de l'équation par radicaux ?
si on groupe ensemble les racines
elle s'exprime comme:

et il est peut être intéressant de regarder les fonctions symétriques des cinq racines
pour le produit, ça donne:
car l'exposant est divisible par 11


merçi beaucoup pour la réponse.

cordialement,

[yos]

Salut. Voici quelques réponses.

cette équation est résoluble par radicaux (résultat dü à Vandermonde).

Oui je pensais à "constructible" c'est-à-dire résoluble par radicaux d'ordre une puissance de 2.
Pour ce qui est de "résoluble par radicaux" (d'ordre quelconque) c'est une banalité car le groupe de Galois est cyclique donc résoluble.

1) Il y a un plus petit sous-corps L de C qui contient les .

Intersection de tous les sous-corps de C contenant les x_k.

2) L est un espace vectoriel sur Q

Toujours vrai quand un corps est contenu dans un autre (corps= corps commutatif).

3) je ne sais si les sont linéairement indépendantes sur Q ?

Ben non : leur somme est nulle.

si L est de dimension finie sur Q et si les en forment une base ?

En enlevant c'est OK.

4) un automorphisme f de L definit une permutation des racines
en effet, pour tout i de [1;11]

En effet. Mais il y a plus de permutations des racines que d'automorphismes de L.

Comment montrer qu'il y a un isomorphisme entre le groupe
des automorphismes de L muni de la composition des applications
et le groupe multiplicatif

à un élément inversible a de Z/11Z on associe l'automorphisme de L défini par où u est une racine primitive onzième de l'unité fixée.

5) je ne vois pas pourquoi (x) est isomorphe à Z/10Z ?

Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique. Quant au fait qu'il a 10 éléments, c'est le cours de première année : éléments inversibles dans Z/nZ.

6) j'ai vu qu'il fallait regarder si le groupe de Galois est résoluble

Ici c'est trivial (groupe cyclique)

[mathelot]

bon, j'ai pas mal de choses en place pour résoudre cette équation par radicaux:

Si L est le corps engendré par
j'ai un morphisme bijectif du groupe additif (Z/10Z,+)
vers les automorphismes de L qui permutent les racines , à savoir:


car les éléments de sont des puissances de 2 modulo 11 et que la composition des automorphismes de L correspond à la multiplication des exposants modulo 11 et à ll'addition dans Z/10Z.

j'ai vu aussi que je devais regrouper les racines et

Bon, mais comment je résoud l'équation ? :doh:

Il me faudrait un système de Cramer 5x5, à coefficients rationnels qui permettrait de calculer les cinq racines avec comme second
membre des radicaux que je pourrai déterminer via les morphismes ???

ou alors, prendre des quantités auxiliaires comme résolvantes, mais lesquelles ?

merçi d'avance pour la réponse.

[yos]

Je crois qu'il faut que tu réfléchisses sur le sens de "résoluble par radicaux". Si tu veux les solutions "par radicaux" de , je te propose les complexes . Je suis sûr que tu seras pas satisfait et pourtant c'est ça que signifie l'expression "résoluble par radicaux".
C'est pour ça que j'avais compris "constructible à la règle et au compas" car là le problème est intéressant : il s'agit de n'utiliser que des racines carrées (éventuellement imbriquées). Et là on sait que les racines de par exemple sont exprimables de cette façon (joli exercice) mais je crois pas.

[mathelot]

bon, je suis d'accord. j'espèrais une formule donnant à l'aide de racines nièmes () réelles éventuellement imbriquées. Une telle formule ne semble pas exister. Demain, je ferai une ultime tentative en calculant les fonctions symétriques de , mais je suis persuadé que ça ne va rien donner. Merçi beaucoup en tous cas.

[yos]

Je te conseille . L'obtention de à l'aide de racines carrées imbriquées est pas mal. Et ça se fait avec les méthodes que tu essayais.

[mathelot]

Bonjour Yos,
je suis super heureux :zen: . Il y a une résolvante, dite de Lagrange,
liée à la théorie de Galois selon une alchimie encore mystérieuse pour moi,
et s'exprime avec des radicaux réels.

A partir de ,
Il suffit de considérer l'équation aux cosinus en posant et de considérer la résolvante qu'a trouvée Lagrange
qui est une combinaison linéaire des cinq racines de avec pour coefficients des puissances de , ce nb complexe étant lui, "radicalisé", puisque
La méthode pour associer les avec les puissances de est donnée par Galois, j'ai pas compris comment.
Est-ce que le groupe de galois de P se déduit de celui de R qui, lui, est
(Z/10Z,+) ?

Cordialement.

[yos]

Bonjour Mathelot.
Les racines de P(Y) sont les où u décrit les racines onzièmes de 1 (autres que 1), c'est à- dire les réels
.
Le surcorps de Q engendré par ces racines est l'intersection de avec le corps des réels (sous corps réel maximal du corps cyclotomique .

Il est de degré 5 sur Q et le groupe de Galois est le quotient du groupe de Galois de par le sous-groupe engendré par la conjugaison complexe .

[mathelot]

En posant:





et
les cinq résolvantes de Lagrange sont ():


Il suffit de les développer et de regrouper selon les cinq puissances de . Les coefficients de ces puissances,
qui sont des multinômes formés avec des produits de la forme
avec
s'expriment rationnellement en fonction des coefficients de l'équation P(Y)=0
des cosinus. Comment la théorie de Galois permet de calculer ces coefficients des puissances de ? pour l'instant, je ne vois pas comment les relations calculatoires sur les
, donnent un moyen de calculer ces fameux monômes des variables y.

PS: je crois que c'est OK.
on a avec
(les exposants sont définis modulo 11)
2 est un générateur de
donc tel que
d'où:

d'où, les produits vont être de la forme:
avec un peu de chance.
Il sufit d'écrire une table de multiplication où un produit donne une somme
et par ce biais, on transformera tous les monomes en différents multiples de la
quantité ,fonction symétrique des racines de l'équation P(Y)=0 !!

j'ai commençé à écrire la table de multiplication:

les étant répartis par paires
de conjugués sur le cercle trigo.

les exposants sont modulo 11.

de même:
















Bon, Yos, j'ai besoin d'un coup de main. Comme je n'ai pas envie de développer les par la formule du multinôme, les sommes faisant 126 termes, je pense qu'on peut trouver un automorphisme
de la théorie de Galois pour les évaluer ?

ou alors, évaluer l'intérieur des parenthèses de la puissance 5 comme la somme d'une progression géométrique ? :dodo:

[mathelot]

les cinq résolvantes de Lagrange sont ():

posons
pour l=0, la première résolvante se réduit à:

pour l=1,


les nombres complexes pour i modulo 5 et j modulo 11 sont des racines 55-ièmes de l'unité et en forment un sous-groupe multiplicatif. Les racines 55-ièmes ont pour générateur . Le problème est donc relativement simple:

comment exprimer un élément de la forme sous la forme . thm des restes chinois ?
ou plutôt Bezout ?

Avec Bezout:

en multipliant par les deux termes de l'égalité:

on en déduit l'égalité entre nombres complexes de module 1:

comme l'inverse de est :
d'où:
Avec cette dernière relation, nous espèrons venir à bout des résolvantes de Lagrange.
Nous cherchons à écrire tout élément de la forme comme une puissance de .
l'équation d'exposant inconnu k:

devient:

il suffit donc que et modulo 11
et modulo 11
car l'inverse de 9 est 5 modulo 11.
Le théorème des restes chinois donne donc une solution pour k modulo 55.
C'est ce qu'il nous faut.
Avec le théorème des restes chinois,

est vérifiée si modulo 55
Les résolvantes de Lagrange deviennent:







et d'une part, et d'autre part
sont conjugués comme on le voit en changeant tous les exposants en

[yos]

Bon je fais remonter mais j'ai pas eu le courage de regarder tous tes calculs.
Il est clair que l'équation est réciproque de première espèce et donc le changement Y=x+1/x nous amène à une équation de degré 5 qui doit être :
.
Est-ce là-dessus que tu travaille?

[mathelot]

oui, j'ai développé la 1ère résolvante de Lagrange sous le logiciel maxima.