bonjour Yos,
cette équation est résoluble par radicaux (résultat dü à Vandermonde).
j'ai essayé de comprendre. Pourrriez vous me valider les affirmations suivantes ?
soient
les racines de l'équation
avec
1) Il y a un plus petit sous-corps L de C qui contient les
.
2) L est un espace vectoriel sur Q
3) je ne sais si les
sont linéairement indépendantes sur Q ? si L est de dimension finie sur Q et si les
en forment une base ?
4) un automorphisme f de L definit une permutation des racines
en effet, pour tout i de [1;11]
donc si
est une racine,
aussi.
Comment montrer qu'il y a un isomorphisme entre le groupe
des automorphismes de L muni de la composition des applications
et le groupe multiplicatif
je vois bien , que si un automorphisme f de L est connu par la donnée
des
, i.e par la donnée de
, car
, ça revient à se donner
un entier u modulo 11, puisque il existe u dans N tel que:
5) je ne vois pas pourquoi (
x) est isomorphe à Z/10Z ?
6) j'ai vu qu'il fallait regarder si le groupe de Galois est résoluble
c'est à dire trouver une suite de sous-groupe
telle que
tel que
soit distingué dans
et
soit commutatif.
je m'attend que
ait au moins un sous-groupe distingué à cause de l'abaissement du degré de l'équation de 10 à 5
et du changement d'inconnue
qui est, comment pourrait on dire, algébrique de degré 2 ?
7) comment exploiter le fait que les
sont des racines carrées des
pour
?
8) on a le sous-groupe des puissance de 2, des puissances de 3, etc..modulo 11
groupe multiplicatif d'ordre 10
de
d'ordre 5
d'ordre 5
d'ordre 5
d'ordre 10
ordre 5
ordre 2
je ne sais si ce sous-groupe
apporte quelque chose à la résolubilité de l'équation par radicaux ?
si on groupe ensemble les racines
elle s'exprime comme:
et il est peut être intéressant de regarder les fonctions symétriques des cinq racines
pour le produit, ça donne:
car l'exposant
est divisible par 11
merçi beaucoup pour la réponse.
cordialement,