Suite à une réflexion de mon prof de physique, je me suis posé une question: quel est l'écartement entre deux "frettes" d'une guitare? C'est à dire quelle est la longueur d'une "case" d'un manche de guitare?
Ce qui suit, en italique, traite juste de ma démarche, regarde qui veut
Pour commencer le tout, j'ai d'abord constaté le fait ( à la physicienne :p) que lorsqu'on joue une note sur la i-ème case, le "nud de vibration" correspondant à l'harmonique principale se situe:
- 12 cases en dessous expérimentalement (enfin c'est un fait connu de tous les guitaristes)...
- à la moitié de la longueur vibrante selon la physique.
Je note dans la suite l la fonction (ou suite...) qui à i (une case donc) associe la longueur du manche jusqu'à la i-eme case, à partir de la tête de la guitare (enfin cela à peu d'importance ici)
Je note L la longueur du manche des cordes sur la guitare.
Pour reformuler la considération précédente, on se place à une case "i". La moitié de la longueur vibrante correspond à (L-l(i))/2, et 12 cases en dessous correspond à la longueur L-l(i+12).
On obtient donc l'équation:
(L-l(i)/2=L-l(i+12)
Donc mon équation est, en reformulant, l(i)+L=2l(i+12).
en posant g:x->l(12x), on a alors g(x)+L=2g(x+1) à résoudre!
Déjà cette équation est vérifiée pour tout x réel, car en fait le modèle que j'étudie ici correspond à la plus grande régularité possible des fonctions étudiés.
Je suis bien conscient qu'il ya une infinité de solutions à ce problème... Donc on voit bien quelque petites conditions supplémentaires:
-Je traite un écartement, un problème de longueur pas trop tordu, donc g est continue, derivable, etc..
-Physiquement, on voit bien que g est croissante!
-g désignant une longueur, g doit être homogène à une longueur!
- Vu la décroissance de la taille des cases d'une guitare, g est de plus concave...
Ca commence à faire pas mal de conditions, je n'arrive pas à voir si cela garantit quand même l'unicité ( à une constante multiplicative près, quand même
)J'ai bien trouvé une solution un peu bricolée en résolvant l'"""équation homogène"""":
g:x->L(1-2^(-x)).
Donc en gros, j'aurais besoin d'aide pour voir si il y a unicité, et sinon quelle condition supplémentaire nous aiderait à la garantir...
Merci d'avance.
