Voici l'énoncé :
"Exercice 1 : Equation fonctionelle de l'exponentielle
On veut montrer que "les seuls fonctions dérivables sur R qui transforment la somme en produit sont les exponentielle et la fonctione nulle".
La fonction nulle répond au problème de façon évidente. On s'intéresse donc aux "autres".
Analyse du problème : supposons qu'une telle application existe, soit
1) Calculer f(0)
2) Pour a réel fixé, on considère les deux applications définies sur R par g(x) = f(a+x) et h(x)=f(a)*f(x)
2.1) Justifier que g et h sont bien dérivable sur R.
2.2) Que peut-on dire de leurs dérivées ?
2.3) Obtenir une equation différetielle vérifiée par f en calculant g'(0) et h'(0)
3) résoudre cette équation différentielle et en deduire l'expression de f.
Synthèse du problème : vérifier que les fonctions de la forme de celles obtenues au 3) répondent effectivement au problème.
Remarque : On démontre de même que : "les seuls fonctions dérivables sur ]0, +oo [ qui transforment le produit en somme sont les logarithmes".
Et voici mes premières réponses :
1) Pour f(0), j'ai dit : f(0) = f(a+b) donc a + b = 0
Soit donc a = - b.
Dans le cas ou a = - b = 0 f(0) = f(0)*f(0) = f(0)^2
donc f(0) = f(0)^2 ==> f(0) = 0 ou f(0) = 1 (la première est la fonction nulle, la deuxième seulement nous intéresse).
La je n'arrive pas à généralisé le f(0) = 1 pour n importe quelle valeur de tel que a = -b ...
2.1) g(x) = f(a + x) et a est un réel, a + x est un réel, or f dérivable sur R pour tout réel. Donc g(x) dérivable (mal justifier, la prof est pointilleuse, mais je vois pas trop comment le rédiger autrement :/)
h(x) = f(a) + f(x) , a réel, donc f(a) dérivable, et f(x) dérivable. Par somme de fonction , h(x) dérivable sur R.
2.2) h'(x) = f'(a)* f'(x) g'(x) = f'(a+x) = f'(a)*f'(x) donc g'(x) = h'(x) (mais pas sur ^^...)
2.3) Je bloque sur l'equa diff, je ne la trouve pas. je pense que ma question 2 est mauvaise.
Quelqu'un à un semblant d'idée ? merci ^^