Considérons une équation de la chaleur homogène sur une vraie ligne:
ut - uxx = 0 x ;) R, t> 0, (P DE)
u (x, 0) = g (x), x ;)R.
Rappelons que la solution de ce problème est ainsi libellé:
u (x, t) = ;);)-;);) (x - y, t) g (y) dy (S)
où
;) (x, t) = (1 / (;) (4;)t)) exp (-x2 / 4t)
est un noyau de la chaleur.
Supposons que g est fonction non-négative uniformément bornée continue ayant une propriété g> 0 sur (a, b)
et g = 0 sinon. ici -;)
;) ;)-;) u (x, t) dx = ;) ;)-;) g (x) dx pour tout t ;) 0.
Astuce: formule Première utilisation de (S) pour montrer que u (x, t) et sa dérivée partielle par rapport à la fois à x et t tend
vers zéro lorsque x ;) ± ;) pour tout t> 0. Alors, de nouveau en utilisant l'équation (S), montrent que ;) ;) ;)-u (x, t) dx est fini pour t> 0.
Enfin, utilisez l'équation (PDE) pour obtenir le résultat.