équation A^2 +A^T = I_n (avec réduction)

[acteon]

Bonjour ,
j'ai un exercice où on cherche toutes les matrices de Mn(R) tq A^2 +A^T = I_n
(A^T = transposée de A)

1) on demande un polynôme annulateur de A, j'ai trouvé X^4 - 2X^2 +X
(dont les racines sont 0 , 1 , [-1+sqrt(5)]/2 , [-1-sqrt(5)]/2)
(Je sais donc si besoin les valeurs propres sont à chercher parmi ces 4 valeurs, et que A est diagonalisable car polynôme annulateur scindé à racines simples)

2) on demande ensuite de montrer que A-I_n n'est pas inversible puis de conclure.

Je n'arrive pas à finir, j'ai quelques pistes, du genre (A-I_n)(A+I_n)= - A^T donc par exemple si je montre A-In inversible alors A l'est (car A+I_n l'est puisque -1 n'est pas valeur propre).
Les valeurs propres seraient dans S ={-1+sqrt(5)]/2 , [-1-sqrt(5)]/2} , on peut poser A = P D P^-1 avec D diagonale de valeurs propres appartenant à S, bon c'est pas encore gagné car il y a une transposée dans l'équation,

en bref la solution n'est pas triviale car il y a déjà toutes les matrices PDP^-1 avec P orthogonale et D diagonale à valeurs propres dans S, mais je n'arrive pas à finir complètement cet exercice.

Merci si qqn a une idée!

[Ben314]

Salut,
Vu le 1), tu sait que donc, si était inversible alors on aurait

c'est à dire ce qui montre que est symétrique donc A aussi.
D'un coté, ça prouve que A est diagonalisable (dans une b.o.n.) et d'un autre coté, l'équation de départ donne donc les valeurs propres de A sont
Mais je vois pas de contradiction : si avec D diagonale (avec des sur la diagonale) et P orthogonale (i.e. ) il me semble bien que ça marche (et que est bien inversible)

Tu as pas d'autres hypothèse concernant ?

[acteon]

Merci pour ta réponse rapide et surtout excuse moi je me suis trompé en recopiant, il faut montrer que A-I_n EST inversible.
désolé :-S :-S cela dit on a un peu avancé: une fois qu'on aura A-I_n inversible, comme A symétrique, A = P D P^T avec P orthogonale et D diagonale avec coeff diagonaux dans S et réciproquement ça marche.

Non je n'ai pas d'autre hypothèse sur A, à moins qu'il manque l'hyp A inversible? (c'est une planche d'oral). Auquel cas ça terminerait l'exo (A inversible donne facilement A-I_n inversible, voir mon premier message)

on peut voir aussi que si on arrive à montrer d'une autre façon que A est symétrique, on obtient que 0 et 1 pas vp car ne sont pas solutions de x^2 +x =0 (qui devrait être vérifié par les coeff diagonaux de D une fois écrit A = PDP^T avec P orthogonale)

[acteon]

pardon x^2 + x =1

[acteon]

Oui il manque A inversible j'ai contacté mon ami il avait oublié de me le dire.
C'est bon du coup c'est réglé!
merci!