Équation aux dérivées partielles

[Trident]

Salut, j'ai un petit problème de compréhension pour une équation facile aux dérivées partielles. Je ne comprends pas le corrigé.

Il s'agit de chercher toutes les fonctions f : R² --> R qui satisfassent :

- (1)

- (2)

Je vous donne petit à petit la réponse proposée par le corrigé et puis je dirai à quel moment je bloque.

Soit y un réel fixé.
Soit g : R --> R telle que g(x)=f(x,y) pour tout x dans R.

On a On en déduit que .

La constante étant dépendante de y, on peut dire que c'est une fonction C : R --> R. Elle est de plus car g est et e^xy aussi.

Donc finalement, on a pour tout x et y dans R :

avec fonction de classe .

Ensuite, le corrigé dit et c'est là où je comprends pas :

On dérive cette fois par rapport à y, et on trouve avec la deuxième relation (2), C'(y) = 2y donc C(y) = y² + cste.


Pour moi, j'aurais dit :

Donc :



D'où

car d'après (2)

D'où .

Où est l'erreur ?

Merci bien.

[mrif]

Salut, j'ai un petit problème de compréhension pour une équation facile aux dérivées partielles. Je ne comprends pas le corrigé.

Il s'agit de chercher toutes les fonctions f : R² --> R qui satisfassent :

- (1)

- (2)

Je vous donne petit à petit la réponse proposée par le corrigé et puis je dirai à quel moment je bloque.

Soit y un réel fixé.
Soit g : R --> R telle que g(x)=f(x,y) pour tout x dans R.

On a On en déduit que .

La constante étant dépendante de y, on peut dire que c'est une fonction C : R --> R. Elle est de plus car g est et e^xy aussi.

Donc finalement, on a pour tout x et y dans R :

avec fonction de classe .

Ensuite, le corrigé dit et c'est là où je comprends pas :

On dérive cette fois par rapport à y, et on trouve avec la deuxième relation (2), C'(y) = 2y donc C(y) = y² + cste.


Pour moi, j'aurais dit :

Donc :



D'où

car d'après (2)

D'où .

Où est l'erreur ?

Merci bien.

Ton raisonnement est correct et si tu continues tu aboutiras à qui ne vérifie pas la condition (1) donc le système n'a pas de solution.

Je pense que l'erreur est dans l'énoncé et plus précisément dans l'équation (2) dont le 2 ème membre serait au lieu de 2y et cela expliquerait pourquoi on trouve dans le corrigé c'(y) = 2y et mieux encore cela permettrait de résoudre le système et aboutir à l'ensemble des solutions .

[Trident]

Ok, merci.